La función logaritmo natural y la función exponencial

En el post anterior definí la función logaritmo natural de x denotado Lnx, donde x > 0; ahora voy a explicar su gráfica y su relación con la función exponencial.
Recordemos que esta función se define como un área:

Si aplicamos derivada con respecto a x en ambos lados de la igualdad se obtiene:

Como la primera derivada es positiva, entonces la función es creciente en todo su dominio.
Calculemos ahora la segunda derivada de esa función con respecto a x,

La segunda derivada es negativa, esto significa que la función es cóncava hacia abajo en todo su dominio.
Cuando x=1 el logaritmo neperiano es igual a 0.
Por lo tanto la gráfica resulta según se muestra en la imagen.

Si queremos calcular el logaritmo neperiano de cualquier número usamos la calculadora. Por ejemplo, es fácil comprobar que Ln1=0.

Relación de la función logaritmo natural con la función exponencial.

Para estudiar esta relación, tracemos la recta y=x en la gráfica anterior, observese que ésta recta reproduce otra gráfica por reflexión de la gráfica de la función logaritmo neperiano.
Esa gráfica señalada en rojo corresponde a la función exponencial f(x)= e^x , pues resulta que la función exponencial es la inversa de la función logaritmo neperiano y viceversa.
Esto es

Esto se interpreta de la siguiente manera:

Para calcular e^x se usa la calculadora, ambas funciones están ubicadas en la misma tecla, la función logaritmo neperiano se encuentra visible, y al fondo se encuentra la función exponencial. Para acceder a la función exponencial e^x se teclea primero la opción Swift (esto indica la inversa) luego la tecla Ln y finalmente el valor de x.
Ejemplo: e²=7,389056099… y si usted a este resultado lo teclea directamente en Ln, resultado le dará 2.