【cn-stem】如何直观地理解欧拉恒等式的含义

我们已经有好几篇文章谈到欧拉恒等式了，关于这个神奇的等式甚至有一个传说，欧拉因其大名，有段时间受聘供职于普鲁士宫廷，有一天他与一位著名的无神论学者争论上帝是否存在。最后他甩出了欧拉恒等式“e^iπ+1=0,所以上帝存在！”结果对方就哑口无言了。那么e、π、i、0、1这5个具有特殊意义的数怎么会并存于一个等式里，仅仅是巧合，抑或是神的旨意？还是有什么必然的因素在起作用？现在我们就来讨论下这个问题。不过下面我们要做的并不是什么严格的数学证明。只是直观的展示欧拉恒等式各个量之间的逻辑关系。

一、换个视角理解数量和运算

人类对于数的概念最早来源于物品的数量，比如羊圈里有8头羊，前天有头母羊下了头小羊崽，那么就是8+1=9头羊。如果羊圈有个洞没有补，被狼叼走了2只，就剩9-2=7头羊。不过这是最基本的理解，要理解欧拉公式乃至高等数学中的一些概念，仅仅以数量来理解数和运算，是不够的。我们需要扩展对数和运算的理解：

1、加法运算就是平移变换

这个大家应该比较好理解，高中学习函数的的时候，都做过类似的练习y=f（x-1）的图像就是将y=f（x）的图像向右平移一个单位长度。

2、乘法运算就是拉伸压缩变换

我们也从函数变换的角度来理解：y=f（2x）图像是怎么样的呢？对于y=f(x)来说，当x=1,2,3...时y的值，对应于y=f（2x）的x=1/2、1、3/2...时y的值，可以想象，对于y=f(x)来说，y=f(2x)就是将图像在横向上压缩了一半。

3、有复数参与的运算就是先拉伸再旋转变换

我们在上一篇《用虚数寻找宝藏》中提到，老海盗船长留下的寻宝指南里面“走一段路之后再左转90度”这个操作对应的是乘以虚数i。而在复平面上，更一般的点对应的是a+bi这样的复数形式，而对复数进行运算得到的也是复数（自然数，整数也可以看做复数的特殊情况）。所以我们对复数参与的运算可以分解为先进行拉伸压缩变换，再进行旋转变换。大家可以参考下图试着理解一下。

图1：复数运算可以分解为拉伸变换和旋转变换的组合。作者：cheva 版权：cc0

 

二、扩展乘方运算

对于整数的乘方运算，我们很容易理解，2³就是2×2×2即3个2相乘，但是碰到
这样的乘方运算，就没法定义成半个2相乘了，我们只能以保持乘方运算的性质a^xa^y=a^x+y始终成立为目的，将
定义为2的平方根，即
。同样对于a^bi的定义，我们也是首先满足乘方运算的性质a^xa^y=a^x+y为首要目的。我们再来以形态变换的角度看看虚数乘方运算a^bi究竟有什么样的意义。根据乘方运算定义：a^a+bi=a^aa^bi，对于a^a，比如2²=4来说，这就只是纯收缩拉伸变换，而复数运算又是拉伸变换和旋转运算的组合，所以a^bi应该就是纯旋转变换。用函数的观点来说就是，虚数乘方a^bi的意义就是当自变量在虚数轴上移动b个单位，对应的应变量a^bi就在复平面上的单位圆上旋转一定的角度。请大家参考下图进行理解：

图2：虚数指数的意义以及欧拉恒等式的直观表达 作者：cheva 版权：CC0

上图就是直观地理解欧拉恒等式的方式，首先我们略作变形将欧拉恒等式写作：e^πi=-1，那么欧拉恒等式的意义就是当自变量在虚数轴上移动b单位时，应变量e^bi就会沿单位圆转动b弧度。当自变量移动到πi时，应变量也正好转过π个弧度，即180度，到达-1的位置。这就是e^πi=-1所表达的含义。为什么会是e呢？而不是2、3、4....为底的时候呢。这是因为y=e^x这个函数很特殊他的导数就是他自己，只有这样才能保证自变量与应变量同步变化。了解微积分的读者，可以自己再思考一下。今天就聊这么多，我们关于欧拉恒等式的讨论也告一段落了。

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参考资料

• 如何通俗的理解虚数和复数？虚数的几何意义又是啥？
• Euler's formula with introductory group theory

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