자 이제 감마함수를 이용한 Analytic continuation 에 대해서 알아보자.

s=1 이외의 모든 복소 평면에 정의된 제타함수를 구하는 것이 나의 목표이다.

리만이 했던 그 방식을 그대로 따라가 보자

자 저 식을 유도하기 위해 일단 필요한 배경지식이 있다. 바로 감마함수인데 간단히 복습 과 제타함수와의 연관성을 살펴보자.

감마함수와 그 성질

일단 감마함수는 Re(s)>0 인 곳에 정의된다. [사실 이 정의역시 factorial 함수의 analytic continuation 이다. 정수 gamma(n) = (n-1)! 인데 이를 적분형태로 확장한 것이 가장 잘 알려진 감마함수의 정의이다.

복소수를 포함한 임의의 수 s 에 대해 감마함수는 다음과 같이 정의된다.

이 함수는 s=0,-1,-2,.. 0과 음의 정수에서 pole 을 가진다. 한번 이를 보여보자. 적분 구간을 쪼개면 쉽게 보일 수 있다.

여기서 이런 식이 쓰였다.

즉 여기서 gamma(s) 는 s=-n 에서 pole 을 가지고 그 곳에서의 residue 값은 (-1)^n 곱하기 1/n 이라는 것을 알 수 있다.

감마함수와 제타 함수의 관계

앞서 구하고자 했던 제타함수는 사실 이 감마함수로부터 자연스럽게 유도된다.

gamma(s/2) 를 구하고 gamma 함수를 정의한 dummy variable 변수 t 대신에 t=n^2 pi x 를 대입하여 정리해보자.

n^s 뭔가 친숙한 꼴이 보인다. 자 이를 왼쪽으로 옮긴 뒤 n에 대한 infinite sum 을 해보자.

이 과정에서 Jacobi theta 함수의 정의가 쓰였다. 얼추 내가 목표로 하는 식과 유사한 구조가 나온다. 정확한 구조를 보이려면 Jacobi theta 함수의 성질이 하나 필요하다.

일단 앞으로 할 trick 은 Gamma 함수에서 pole 을 구했던 것처럼, 적분 구간을 분리한뒤, Jacobi theta 함수의 성질을 이용하여 적분을 다시 쓰는 것이다.

두번째 항 부분은 다음과 같은 계산으로 바꾸어 쓸 수 있다.

자 이로써 원하고자 하는 식을 얻었다. 이 식을 이용하면 functional equation 을 쉽게 유도할 수 있다.

functional equation

구하고자 하는 functional equation 은 두가지이다. 하나는 그냥 이름이 functional equation 이고 다른 하나는 Reflection functional equation 이라고 불린다.

Functional equation 은 다음과 같이 생겼고

Reflection functional equation 은 이렇게 생겼다.

첫번째 식과 두번째 식의 관계는 s 대신에 1-s 를 대입한 것에 불과하다.

Functional equation 은 사실 앞서 구한 Analytic continuation 의 형태로부터 바로 얻는다. 앞서 구했던 식을 s 대신 1-s 를 넣어 대입한 후 정리해보면 된다.

Reflection functional equation 의 경우는 이 Functional equation 에서 사실 바로 나온다.

여기서 감마함수의 성질을 이용하면 된다.

두번째 식은 감마함수 관련 포스팅에서 많이 다룬[여러가지 증명 방법을 배웠다.] Euler reflection formula 에서 바로 읽어 낼 수 있다. 첫번째 식은 감마함수의 Legendre Duplication formula 라고 불리는 것인데 이번 기회에 한번 증명해 보자.

이용한 감마함수 성질 증명

먼저 원하는 Legendre Duplication formula 는 다음과 같다.

사실 Euler reflection formula 도 그랬듯이 Beta 함수를 이용하면 아주 쉽게 증명할 수 있다. [이 역시 이전 감마함수계산, [수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전2 : 복소 함수를 이용한 풀이 에 소개되어 있다.]

간단히 정의부터 Legendre Duplication formula 를 유도해보자

z= x^2 을 넣고 전개 한뒤 p=1/2 를 q= s 를 넣고 적분 식과 이 베타함수를 감마함수로 적은 식을 비교하면 원하는 식이 바로 나온다.

베타함수의 정의를 사용하고 t=(1+x)/2 로 치환함

이를 정리하면

gamma(1/2) = root pi 값을 넣으면 Legendre Duplication formual 는 바로 증명된다!

gamma(1/2) 값을 구하는 것도 분명 했을 텐데, 포스팅을 찾아보니 잘 안보인다. 간단하다.

가우시안 적분은 감마함수 정의 편들을 보면 유도과정을 찾아 볼 수 있다. [gamma(1/2) 과 가우시안 적분을 내가 안 했을리가 없는데? ]

이로써 일단 제타함수의 정의에 대해서 알아 보았다. Peter Borwein, Stephen Choi, Brendan Rooney, and Andrea Weirathmuller 의 논문집 The Riemann Hypothesis 의 formual 에 나온 제타함수들의 다양한 표현식을 거의 다 다루어 보았다. Bernoulli number 를 이용한 제타함수 짝수의 표현식은 예전에 다룬 적이 있어 따로 유도하지는 않았다.

언제 다시 관련 포스팅을 할 지 모르겠지만 이 zeta 함수를 일반화한 Hurwitz zeta function 이나, 앞서 살짝 언급한 Jacobi theta function 의 성질들 이런것들도 언젠간 포스팅을 할 생각이 있다.

또 이번 시리즈의 포스팅에서는 제타함수들의 여러 표현식들에 대해 다루었긴 한데, 정작 리만가설과 중요한 소수들에 대한 이야기는 다루지 않았다. 요즘 여가시간에 이와 관련된 유투브 강의를 듣고 있긴 한데, 30강 중 절반 들었지만 아직도 복소해석 강의를 하고 있다. 제타함수는 1강만 나오고 등장하고 있지 않다. 이 강의를 진행했던 강사가 굉장히 인상깊다. 이에 대해 한번 소개해 보는 포스팅을 써봐야겠다.

감마 함수 관련 포스팅

[수학, 계산] 감마 함수의 정의-1 :팩토리얼, 가우스, 오일러의 정의
[수학, 계산] 감마 함수의 정의-2, 그 나머지 편
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전1 : Basel problem 을 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전2 : 복소 함수를 이용한 풀이
[수학, 계산] Euler-reflection formula - 버전3 : 미분방정식을 이용한 풀이
[수학, 계산] 감마함수의 전개 1-기본편
[수학, 계산] 감마함수 전개 2 : 계산 및 응용

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