Als ich heute morgen aufgewacht bin, wollte ich eigentlich diesen (hoffentlich) lustigen Post passend zum Pi Tag veröffentlichen. Dann habe ich jedoch von Stephen Hawkings Tod gelesen und war mir nicht mehr so sicher. Also hab ich einen Kaffee getrunken und etwas nachgedacht.

Berücksichtigt man das Leben, was Stephen Hawking gelebt hat, wie sehr er sich der Wissenschaft aufgeopfert hat und seinen Sinn für Humor, denke ich er hätte nicht gewollt, dass jemand wegen ihm sich nicht traut einen spaßigen Wissenschaftspost zu veröffentlichen. Ich möchte Euch also darum bitten Euch ein paar Momente Zeit zu nehmen an diesen unfassbar brillanten Wissenschaftler, diesen Kämpfer und diese Inspiration für viele andere Wissenschaftler zu denken und ein paar tiefe Atemzüge zu nehmen.

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Jetzt da wir alle ruhig sind, versuchen wir nicht zu traurig zu sein. Schließlich kann Energie nicht zerstört, sondern nur umgewandelt werden. Ich bin mir sicher, dass egal in welcher Form und an welchem Ort die Energie von Stephen Hawking gerade Großartiges bewirkt.

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Pi Tag

Heute, der 14te März, oder wenn Du das etwas seltsame Format der Amerikaner bevorzugst 03/14, ist internationaler Pi Tag. Unser Steemian @humanduck und ich habe für diesen Anlass ein kleines Projekt vorbereitet. Aber zuerst gibt es ein paar Pi-Fakten.

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Was ist Pi?

Pi, oder wie es richtig geschrieben wird "π", ist der sechzehnte kleine Buchstabe des griechischen Alphabets. In der Mathematik repräsentiert er das Verhältnis zwischen dem Umfang und dem Durchmesser eines Kreises. Ein Kreis mit einem exakten Durchmesser von 1 cm hat einen Umfang von exakt π cm, or unefähr 3,14159 cm.¹

Wieso nur ungefähr 3,14159? Weil π eine irrationale Zahl ist. Das bedeutet sie kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Egal welche zwei ganzen Zahlen man auswählt, man wird nie auf das Ergebnis von π kommen, wenn man die Eine durch die Andere teilt. Wenn man also π aufschreiben will, bekommt man eine Zahl die unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nie wiederholen.

Enthält π denn alles?

Oft hört man Aussagen wie "π ist irrational, es hat unendlich viele, sich nie wiederholende Nachkommastellen. Also enthält π jede Kombination von Ziffern" woraufhin meistens irgendeine mystische Idee kommt wie, dass π den Todeszeitpunkt eines jeden Menschen enthält. Ich habe jedoch noch keinen Beweis hierfür gesehen.

Die Aussage "es hat unendlich viele, sich nie wiederholende Ziffern" ist nicht ausreichend, um zu beweisen, dass π auch alle Zifferkombinationen enthält. Schauen wir uns doch mal folgende Ziffernreihe an: Schreibe eine 1, dann eine 2, dann zwei 1sen, dann wieder eine 2, dann drei 1sen und so weiter.

Diese Sequenz ist offensichtlich unendlich und wiederholt sich nie. Gleichzeitig enthält sie jedoch auch nicht alle Ziffernkombinationen, wir haben ja nur die Ziffern 1 und 2 benutzt. Ergo ist die Eigenschaft "es hat unendlich viele Ziffern und wiederholt sich nie" nicht ausreichend, um zu beweisen dass jede Kombination von Ziffern enthalten ist. Es mag wahrscheinlich sein, dass jede beliebige Kombination in π enthalten ist, aber es ist nicht bewiesen, dass π alle Kombinationen enthält.

Wenn Du eine Eigenschaft von π kennst, die tatsächlich beweist, dass π jede Ziffernkombination enthält, dann lass mir doch bitte ein Kommentar da. Ich würde wirklich gerne einen Beweis hierfür sehen!

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Was enthält π denn dann?

Hier nur eine Handvoll Beispiele die ich mit Hilfe dieser wundervollen Webseite gefunden habe. Du willst wissen an welcher Stelle in π dein Geburtsdatum liegt? Das ist die Webseite um es herauszufinden.

• 03142018 Der Tod eines legendären Wissenschaftlers an Position 150.741.354
• 14032018 Der Tod eines legendären Wissenschaftlers in einem sinnvollen Format an Position 184.676.216
• 12345678 an Position 186.557.266
• 314159 Die ersten sechs Ziffern von π (ein zweites mal) an Position 176.451
• 03101990 Tag der Deutschen Einheit an Position 44.532.000
• 06041776 USA Independence Day in deren seltsamen Format an Position 10.417.763
• 04061776 USA Independence Day in einem sinnvollen Format an Position 11.109.370

Schreib doch deine Lieblingssequenz und an welcher Position sie zu finden ist in die Kommentare.

Wie berechnet man π?

Üblicherweise wird π berechnet mit Hilfe von unendlichen Summen (oder wie wir sie nennen unendlichen Reihen). Nimmt man die Summe über unendlich viele Summanden mit bestimmten Eigenschaften, dann kann es sein dass diese Summe zu einem festen Wert konvergiert. Hier ein paar Beispiele mit was für Reihen π berechnet werden kann.

Die Leibniz-Reihe.²

Madhava von Sangamagramas Reihe.³

Diese Reihen sind unendlich, leider können wir aber natürlich nicht unendlich viele Summanden aufsummieren und so den exakten Wert von π berechnen. Stattdessen muss eine solche Reihe erst einmal mathematisch untersucht werden. Es muss bewiesen werden, dass sie konvergiert und berechnet werden, wie schnell sie konvergiert. Dann kann man ausrechnen, wie viele Summanden benötigt werden um π auf eine gewünschte Anzahl an Nachkommastellen genau auszurechnen.

Wie habe ich π berechnet?

Ich habe π auf 9.000.000.000 (ja, das sind 9 Milliarden) Stellen berechnet indem ich eine gut optimierte Implementierung von Chudnovskys Algorithmus gefunden und verwendet habe.⁴

Ja, das ist eine ganz schön komplexe Formel. Ich bin auch sehr froh, die nicht selbst implementiert haben zu müssen. Ich habe eine gut optimierte Implementierung von Hanhong Xue hier gefunden. Dieser Algorithmus ist zwar schwer effizient zu implementieren, aber hat man es geschafft (oder eine fertige gefunden), dann konvergiert der Algorithmus mit etwa 13 Ziffern pro Iteration. Das ist der am schnellsten konvergierende Algorithmus den ich finden konnte.

Das Projekt

Die Idee hatte @humanduck. Er dachte "Wär's nicht lustig Musik aus den Ziffern von π zu generieren?" und ich dachte "Aber sowas von, lass machen!". Also habe ich mich dran gegeben so viele Ziffern von π zu berechnen wie ich kann. Anschließend habe ich eine kleine RESTful API um diese Ziffern in einem maschinenlesbaren Format abzurufen geschrieben. Du kannst diese API sogar selbst benutzen, aber dazu kommt später noch ein gesonderter Post.

Während ich im Backend gearbeitet habe, hat @humanduck das JavaScript Frontend geschrieben das die Ziffern von π verwendet, um direkt im Browser Musik zu generieren.

Das Ergebnis kann du dir hier ansehen.

In der Zukunft werden wir noch ein wenig daran Feilen, mit mehr Modi zum generieren der Musik und vielleicht noch ein paar anderen Instrumenten.

@humanduck und ich werden weiter daran arbeiten und dafür sorgen, dass es besser klingt und mehr Variation enthält. Also Folge uns beiden doch und bleib gespannt auf mehr Ziffern und Töne.

Bleibt neugierig.

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1. Die Zahl Pi - https://de.wikipedia.org/wiki/Kreiszahl
2. Die Leibniz-Reihe - https://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Reihe
3. Madhava von Sangamagrama - https://en.wikipedia.org/wiki/Madhava_of_Sangamagrama
4. Chudnovsky Algorithmus - https://de.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky-Algorithmus