Quand j’ai « posté » ce jeu, je ne connaissais pas toute l’histoire entourant cette énigme qui s’est avérée être une véritable saga. Je savais que ce jeu pourtant banal avait créé une certaine controverse et animé bien des débats, mais pas à une telle échelle. Je dois remercier @soy-venezuelien qui a apporté un éclairage nouveau sur cette énigme; pour ma part, je ne savais même pas que Wikipédia lui avait consacré une analyse détaillée (12 pages) et même en plusieurs langues.

Image credits: "Brillant Le grand livre des jeux d'esprit" par Ivan Moscovich, Éditions Bravo!

Reprenons le jeu :

Mise en situation

Vous avez été retenu pour participer à un jeu télé qui vous donne la chance de gagner une voiture neuve.
Devant vous, 3 portes; la voiture est dissimulée derrière l'une de ces portes et des singes derrière les 2 autres portes.
L'animateur vous demande de confirmer votre choix.
L'animateur télé ouvre alors une des 2 autres portes; c'est un singe.
L'animateur vous fait alors une proposition: vous en tenir à votre choix ou sélectionner l'autre porte qui n'a pas été ouverte.

QUESTION :

Vous en tenez-vous à votre choix OU acceptez-vous l'offre de l'animateur ?

RÉPONSE :

Acceptez l’offre de l’animateur et choisir l’autre porte

Voici une courte histoire entourant cette énigme. Pour ceux/celles qui veulent la version détaillée et scientifique, je vous invite à lire Problème de Monty Hall

La SAGA

L’énigme connue depuis longtemps sous différentes formes a marqué les esprits dans les années 1990 aux USA. L’animateur télé Monty Hall présente cette énigme dans un jeu télévisé « Let’s make a deal ». Le jeu suscite certaines controverses et un téléspectateur écrit à Marilyn vos Savant du populaire magazine Parade qui publie la lettre dans sa rubrique « Ask Marilyn ». Marilyn, qui a réponse à tout, (d'où le nom de sa rubrique), apportera à ses lecteurs une explication logique à l'énigme (voir ci-dessous).

Loin de calmer le jeu (excusez le double "jeu" mots"), elle recevra des milliers de lettres; son explication va générer un véritable débat. Des universitaires, des mathématiciens célèbres ou non, des amateurs, bref tout le monde veut y mettre son grain de sel. Le New York Times en fera même sa page couverture lors d’une édition du dimanche en 1991. Depuis ce temps, l’énigme est connue sous le nom de « Problème de Monty Hall »

Source: "Brillant Le grand livre des jeux d'esprit" par Ivan Moscovich, Éditions Bravo!

Ce problème n’est pas nouveau; plusieurs mathématiciens en revendirent la paternité ou ont fourni une explication à cette énigme.

En effet, une des premières apparitions de ce problème date de 1898 dans Probabilités de Calcul de Joseph Bertrand où il est décrit comme le paradoxe de la boîte de Bertrand (à ne pas confondre avec le paradoxe de Bertrand).

Source: wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall

Une version, moins ludique, est celle des « trois prisonniers »; les trois attendent leur exécution dans le couloir de la mort mais on apprend de source sûre que l’un des trois sera gracié juste avant l’exécution. Le gardien dévoile…….

La CONTROVERSE

Deux points de vue s’opposent et en apparence semblent avoir raison tous les deux :

Le premier affirme qu'après ouverture de la porte, il reste deux portes, chacune ayant tout autant de chances de cacher la voiture. On a donc tout autant de chances de gagner avec changement que sans changement.

Le second affirme que si l'on ne change pas de porte, on gagne si et seulement si on avait fait le bon choix au départ. Or, ce choix avait une chance sur trois d'être bon. Il y a donc 1⁄3 de chances de gagner sans changer, 2⁄3 de chances de gagner en changeant.

Ce problème a longtemps été un cas de paradoxe probabiliste pour lequel il existe deux solutions contradictoires défendables sans qu'on parvienne à faire triompher une interprétation.

Source: wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall

La SOLUTION

Raisonnement par la probabilité que le présentateur apporte de l'information

Un candidat qui suit la stratégie de changer systématiquement son premier choix, gagnera en moyenne 2 fois sur 3, en effet, lorsque le présentateur ouvre une porte deux cas de figure sont possibles :

• soit le candidat avait choisi la voiture (1 chance sur 3) et le présentateur ouvre n'importe quelle porte, n'apportant pas d'information,
• soit le candidat avait choisi une chèvre (2 chances sur 3) et le présentateur ouvre la porte de la seule chèvre restante, désignant de fait la porte restante comme celle cachant la voiture.

Donc faire confiance au présentateur en changeant son choix apporte 2 chances sur 3 de gagner.

On note au passage que le présentateur n'a absolument aucune liberté dans le fait d'apporter de l'information ou non, donc que sa volonté d'aider ou de nuire n'a aucun effet.

Lorsque le candidat choisit une porte, il y a 1 chance sur 3 que ce soit celle de la voiture, et 2 chances sur 3 qu'il y ait une chèvre derrière. Ces probabilités sont des probabilités a priori et ne changeront donc jamais pendant toute la durée du jeu.
Source: wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall

En résumé

• en sélectionnant une porte, la concurrente a 2 chances sur 3 de choisir une porte PERDANTE (posons Porte # 1)
• l'animateur, il n'a pas le choix, ouvre une porte PERDANTE (Porte # 3)
• la concurrente connait maintenant les 2 portes PERDANTES ( 1 et 3) et la porte GAGNANTE (# 2)
• la concurrente doit faire l'ÉCHANGE pour GAGNER (2 fois sur 3)

Note: le fait que l'animateur ouvre une porte PERDANTE ne signifie pas que le choix de la concurrente est meilleur; au moment où elle a fait son choix, elle avait 2 chances contre elle.

PSSSSSST

Si vous avez encore des doutes et si vous voulez animer une soirée entre amis, suggérez ce jeu et jouez un grand nombre de parties. Vous constaterez qu’avec échange, vous gagnez 7 fois sur 10.

RÉFÉRENCES:

L'énigme est extraite de : "Brillant Le grand livre des jeux d'esprit" par Ivan Moscovich, Éditions Bravo!

https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8me_de_Monty_Hall

https://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Monty_Hall