(고등수학) 원의 방정식(2)

 ⦁ 원의 방정식

㈎ 원과 만나는 접선의 방정식

㉠ 접점의 위치를 알 때
㉡ 접선의 기울기를 알 때

 이번 포스팅에서는 접선의 방정식을 접선의 기울기를 알 때 구하는 방법에 대해서 알아보도록 하자.

  원과 만나는 접선의 방정식을 알고자 할 때 접선의 기울기를 안다면 어떤 방법으로
접선의 방정식을 구할수 있을지 생각해보자.

직선의 방정식 = y = mx + b
원의 방정식 = (x-a)²+(y-b)²=r²

원과 접선을 수직선 위에 그려보고 원의 중점을 (a,b) 접점의 위치를 ( x₁, y₁)으로 하고 그린 그림

접점의 위치는 모르며 기울기 m과 원의 중점은 알고 있을 때 접선의 방정식은 어떻게 구할까

y=mx+b 에서 b의 값을 구하는 것이 관건이다.

생각해보자. 어떻게하면 b의 값을 구할 수 있을까?

우리가 앞서 보았던 원과 직선의 위치관계에서 힌트를 얻을 수 있다.

원과 직선이 접한다는 점과 원과 직선이 접할 때는 그 관계 값을 범위 값이 아니고 등호를 사용하여 D=0 또는 d=r의 형태로 등호를 사용한다는 점에 착안하여 앞서 보았던 원과 직선의 위치관계에서 접선의 위치를 구하는 법을 이용하면 b의 값을 알수 있을 것이다. cf) 여기서 소문자 d는 원과 직선사이의 거리이고 대문자 D는 판별식의 D이며 r은 반지름의 길이이다.

판별식을 이용하여 구해보자
판별식 = b²-4ac
우선 원의 방정식에 직선의 방정식을 대입하여 원과 직선의 위치 관계를 구할때 처럼 이차방정식을 만들어 준다.
기본적인 방법을 보여주기 위해 원의 방정식의 기본형과 직선의 방정식의 기본형을 이용해 나타내 본다.
x²+y²=r²에 y=mx+b를 대입한다. x²+(mx+b)²=r² 이 된다.
이 값을 풀어주면 x²+m²x²+2mbx+b²=r² 이 된다.
x에 대한 이차방정식 형태로 간단히 하면 (1+m²)x²+2mbx+b²-r²=0 이 된다.
이차방정식 형태이므로 판별식을 이용해 본다.
b의 위치가 짝수이므로 b′형태를 이용해 본다.
(mb)²-(1+m²)(b²-r²)의 판별식 형태가 되고 원과 직선의 관계에서 접선의 위치관계이므로 (mb)²-(1+m²)(b²-r²)=0 이 된다. 이걸 풀어주면
m²b²-(b²-r²+m²b²-m²r²)=0 이 된다. 괄호를 풀어주면
m²b²-b²+r²-m²b²+m²r²=0 이 되며 다시 간단히 하면
-b²+r²+m²r²=0 이 된다. b의 값을 구하기 위해 r²+m²r²을 이항해주면
-b² = -r²-m²r² 이 되고 b² = r²+m²r²의 형태가 된다.
b² = r²(1+m²)
b = ±r√1+m² 의 형태가 되며 b의 값을 구할 수 있다.
원과 직선의 길이 d=r 으로도 구할 수 있다.
원과 직선의 길이에서 구할 때는 접점의 위치와 직선의 방정식이 필요하다.
cf) 점과 직선사이의 길이를 참고
하지만 여기서 있는 건 접점의 위치가 아닌 기울기와 원의 중심 그리고 반지름의 길이이다.
어떻게하면 원과 직선의 길이관계로 구할수 있을까
d = | ax₁ + by₁ + c | / √a²+b² 여기서 abc는 직선의 방정식 ax+by+c에서의 abc이고
여기선 원과 직선사이의 거리이므로 x₁과 y₁은 원의 중점의 위치를 나타낸다.
점의 위치와 직선의 방정식을 이용하여 구하는 것이다.
y = mx + b 이므로 mx -y -b  = 0 의 일차방정식 형태라고 했을 때
이렇게 되면 m = a,  -1 = b, -b = c 의 형태가 된다. 먼저 d를 구해보자
d = | mx₁ -y₁ -b | / √m²+1 이며 반지름의 길이와 같으므로
| mx₁ -y₁ -b | / √m²+1 = r 이 된다. 이 식을 풀어보면
| mx₁ -y₁ -b | = r√m²+1 이 되고  mx₁ -y₁ -b  = ±r√m²+1 이 된다.
b = -x₁ +y₁ ±r√m²+1 이라는 식이 도출 되게 된다.

원과 접선의 기울기를 알 때 접선의 방정식을 구하는 방법을 알아보고 식을 도출해 보았다.

(본 글의 수정되어야할 부분은 알려주신다면 수정하겠습니다.)