(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2

Hoş geldiniz. Bu yazıda "(a + b) ^ 2 = a^2 + 2ab + b^2" formülünün ispatını göstereceğim.

Bu denklem tam kare açılımı olarak biliniyor. Lise okuduysanız veya okuyacaksanız hepiniz ezberlediği/ezberleyeceği bir formül. Maalesef eğitim sistemimiz konunun mantığını vermektense her şeyi ezberlettiği için (a + b) ^ 2 gösteriminin açılımının neden a^2 + 2ab + b^2 olduğunu pek çok kişi bilmiyor. Bunun ispatı ileri matematik gerektiren bir şey değil. Bu yüzden ispatının gösterilmemesi çok saçma ama şuan konumuz eğitim sistemi değil. Bu yüzden ben asıl konuya döneceğim.

Şimdi öncelikle size sorum olacak. Bir kenarı x birim olan bir karenin alanını nasıl hesaplarsınız? Çok basit kenar.kenar yani x . x ile karenin alanı hesaplanabilir. Ne dedim? "x . x" Bu işlem başka nasıl yazılabilir? x^2 şeklinde. Yani esasında siz bir sayının 2. kuvvetini başka bir deyişle bir sayının karesini alırken aslında bir kenarı x birim olan bir karenin alanını buluyorsunuz.

Ön bilgiyi verdim. Şimdi ispata geçebiliriz.
Bu formülün ispatını (x + y)^2 işlemi üzerinden gösterelim. Ne yapacağız? Öncelikle karenin bir kenarında nokta belirleyelim ve bu noktadan kenarı ikiye yani x ve y parçasına ayıralım. Aynı şeyi karenin diğer kenarlarına da yapalım. Tabii bütün kenarlar birbiriyle eş olmalı ki zaten biz de öyle yaptık. Şimdi bütün kenarları x ve y parçasına ayırdığımıza göre belirlediğimiz noktalardan kareyi parçalayalım. Ortaya şu şekil çıkar:

Şimdi elimizde iki tane kare ve iki tane dikdörtgen var. Karenin alanını nasıl bulduğumuzu az önce gösterdim. Peki dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? "Uzun kenar . kısa kenar" Yani görselden konuşacak olursak "x.y" Bu işlemleri yapınca görüntü şuna döner:

Şimdi hepsini toplayalım.

İşte tam kare açılımının ispatı.

Diğer yazılarda görüşmek üzere.