Tugas Kuliah Hukum Ampere dan Medan Magnetik

Catatan

Ini merupakan tugas S1 saya di mata kuliah Teori Medan Listrik dimana tugasnya adalah menulis essai mengenai hukum ampere dan medan magnetik. Selain saya kelompok ini terdiri dari Vencisisca Jeane R, Rr. Sanita Eling Cipta Nesa, Putu Arie Pratama, Fajar Purnama, Muhammad Audy Bazly, Muhamad Nordiansyah. Tugas ini tidak pernah dipublikasi dimanapun dan kami sebagai penulis dan pemegang hak cipta melisensi tugas ini customized CC-BY-SA dimana siapa saja boleh membagi, menyalin, mempublikasi ulang, dan menjualnya dengan syarat mencatumkan nama kami sebagai penulis dan memberitahu bahwa versi asli dan terbuka tersedia disini.

BAB 1 Pendahuluan

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak penerapan dari beberapa hukum-hukum fisika yang terjadi, salah satunya yaitu hukum ampere dan medan magnetik. Dimana secara umum hubungan antara hukum ampere dan medan magnetik, yaitu hukum ampere menyatakan bahwa medan magnet dapat ditimbulkan melalui dua cara yaitu lewat arus listrik (perumusan awal hukum ampere), dan dengan mengubah medan listrik (tambahan Maxwell). Koreksi Maxwell terhadap hukum ampere cukup penting, dengan demikian hukum ini menyatakan bahwa perubahan medan listrik dapat menimbulkan medan magnet, dan sebaliknya.

Tiga orang ilmuwan jenius dari perancis, Andre Marie Ampere (1775-1863), Jean Baptista Biot (1774-1862) dan Victor Savart (1803-1862) menyatakan bahwa gaya akan dihasilkan oleh arus listrik yang mengalir pada suatu penghantar yang berada diantara medan magnetik. Hal ini juga merupakan kebalikan dari hukum Faraday, dimana Faraday memprediksikan bahwa tegangan induksi akan timbul pada penghantar yang bergerak dan memotong medan magnetik. Hukum ini diaplikasikan pada mesin-mesin listrik, dan gambar dibawah ini akan menjelaskan mengenai fenomena tersebut.

Gambar 1.1 Kaedah Tangan Kanan.png

Gambar 1.1 Kaedah Tangan Kanan

1.2 Rumusan Masalah

Adapun permasalahan yang diangkat dalam makalah ini adalah sebagai berikut:

Apakah yang dimaksud dengan hukum ampere dan medan magnetik ?
Bagaimanakah hubungan antara kerapatan arus dengan medan magnetik ?
Apakah yang dimaksud dengan kerapatan fluks magnetik ?
Apakah yang dimaksud dengan potensial vektor magnetik dan bagaimanakah penerapannya ?
Apakah yang dimaksud dengan teorema stokes ?

1.3 Tujuan

Tujuan utama dari penulisan makalah “ Hukum Ampere dan Medan Magnetik “ kali ini adalah untuk mengetahui dan memahami secara rinci mengenai hukum ampere dan medan magnetik. Adapun tujuan lain dari pembuatan makalah ini adalah:

Mampu mendefinisikan serta menjelaskan mengenai hukum amper dan medan magnetik.
Mengetahui bagaimana hubungan antara kerapatan arus dengan medan magnetik.
Mampu mendefinisikan serta mengetahui mengenai kerapatan fluks magnetik.
Mampu menjelaskan mengenai pengertian dari potensial vektor serta mampu menjelaskan bagaimanakan penerapannya.
Mampu mendefinisikan mengenai teorema stikes.

1.4 Manfaat

Manfaat yang diperoleh dari makalah “ Hukum Ampere dan Medan Magnetik “ ini adalah sebagai berikut:

Memberikan pengetahuan mengenai hukum ampere dan medan magnetik secara mendalam.
Memberikan pengetahuan mengenai hubungan antara arus ataupun kerapatan arus dengan medan magnetik.
Memberi pengetahuan mengenai potensial vektor yang dapat ditentukan dari arus.

1.5 Ruang Lingkup Materi

Dalam makalah ini, ruang lingkup yang dibahas oleh penulis hanya sebatas mengenai permasalahan yang di bahas, yaitu sebatas Hukum Ampere dan Medan Magnetik.

BAB 2 Pembahasan

2.1 Hukum Biot-Savart

Differensial medan magnetik, dH merupakan hasil dari differensial elemen arus I dH. Medan berbanding terbalik dengan jarak (r²), merupakan media bebas yang ada sekitarnya dan memiliki arah yang merupakan cross product dari I dI dan aR .Hubungan ini diketahui sebagai Hukum Biot-Savart, dimana dapat persamaan tersebut, dilihat seperi dibawah ini :

dH = (I dI x a_R)/(4πR²) (A/m)

Arah dari R harus berasal dari elemen arus pada titik dimana dH sudah ditentukan, seperti pada gambar berikut:

Gambar 2.1 Arah R dan dH.png

Gambar 2.1 Arah R dan dH

Elemen arus tidak boleh dipisahkan. Semua elemen melengkapi kontribusi filament arus ke H dan arus harus terlibat. Bentuk integral dalam Hukum Biot-Savart adalah sebagai berikut:

H = ∮(I dI x a_R)/(4πR²)

Integral tertutup sederhana membutuhkan semua elemen arus yang dilibatkan dalam memperoleh nilai H.

Contoh Soal 1:

Arus I yang panjang dan lurus sepanjang sumbu z dari koordinat silindris adalah seperti tampak pada gambar dibawah ini.

Gambar 2.2 Contoh Soal 1.png

Gambar 2.2 Contoh Soal 1

Tanpa kehilangan sesuatu sifat umumnya, pilih suatu titik dalam bidang z = 0. Maka dalam bentuk differensialnya, adalah sebagai berikut:

dH = (I dz a_x X (ra_r X za_z) / (4π(r²+z²)^<sup>(3⁄2))

= (I dz ra_∅) / (4π(r²+z²)^(3⁄2))

H = [∫_-∞^∞(Ir dz) / (4π(r²+z²)^(3⁄2))] a_∅

= a_∅/2πr

Medan magnetik oleh arus permukaan dan volume juga diberikan oleh hukum Biot-Savart bentuk integral, dengan I dI digantikan oleh K dS atau Jdv masing-masingnya, dan dimana integral itu diambil diseluruh permukaan, atau volume, yang bersangkutan. Contoh penting adalah arus pada bidang datar tak berhingga dengan kerapatan K yang konstan. Dimana persamaannya dapat dilihat sebagai berikut ini:

H = K/2 X a_n

2.2 Hukum Ampere

Integral garis dari komponen tangensial H sepanjang lintasan tertutup adalah sama dengan besarnya arus yang berada di sekitar lintasan itu:

∮H.dI = I_enc

Ini merupakan hukum Ampere. Pada pengamatan pertama, kita barangkali akan mengira bahwa penerapan hukum ini adalah untuk menentukan arus dengan suatu integrasi. Padahal, biasanya arusnya telah dikenal dan hukum ini akan memberi kita cara menentukan H. Jadi penerapan hukum tadi sangat serupa dengan penggunaan hukum Gauss untuk menentukan D dalam distribusi muatan yang diberikan.

Untuk dapat memanfaatkan hukum Ampere dalam menentukan H haruslah ada simetri bertaraf cukup tinggi pada masalah yang dibahas. Dua syarat yang harus dipenuhi, adalah sebagai berikut:

H haruslah bersifat normal atau tangensial pada setiap titik lintasannya.
H memiliki nilai yang sama atau tetap untuk setiap titik lintasannya, jika H bernilai tangensial.

Hukum Biot-Savart dapat digunakan untuk menentukan dalam memilih lintasan yang memenuhi syarat-syarat itu. Tapi dalam banyak hal, lintasan tersebut akan segera terlihat.

Contoh Soal 2:

Gunakan hukum ampere untuk memperoleh H oleh arus I yang panjang dan lurus. Hukum Biot-Savart menunjukkan H adalah tangensial dan dengan besar yang sama sepanjang lingkaran pada gambar 2.3, Maka persamaannya adalah sebagai berikut:

∮H.dI=H(2πr)=I

H = a_ϕ/2πr

2.3 Curl

Curl dari medan vektor A merupakan medan vektor yang lain. Titik P pada gambar 2.3 terletak di area ∆S yang dibatasi oleh kuva tertutup C.

Gambar 2.3 Curl pada Titik A.png

Gambar 2.3 Curl pada Titik A

Dalam integrasi yang mendefinisikan curl, C merupakan area yang dilalui oleh curl sehingga area yang tertutup berada disebelah kiri. Unit normal an , ditentukan dengan menggunakan aturan kaedah tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Maka, komponen curl dari A dalam arah an akan didefinisikan sebagai berikut:

(curl A).a_n = lim_(∆S→0)(∮A.dI/∆S)

Dalam sistem koordinat, curl A merupakan nilai spesifikasi sepenuhnya yang ditentukan oleh komponen di sepanjang tiga unit vektor tersebut. Sebagai contoh, komponen x pada koordinat kartesian didefinisikan dengan cara mengambil garis kontur C persegi pada bidang x = conts, melalui titik P, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.5:

(curl A).a_n = lim_{(∆y ∆z→0)} ⁡(∮A.dI / ∆y ∆z)

Gambar 2.4 Curl pada Bidang Persegi.png

Gambar 2.4 Curl pada Bidang Persegi

Jika, A = A_xa_x + Aya_y + A_za_z , pada sudut dari ∆S tertutup ke titik pusat (titik 1), kemudian:

∮ = ∫₁² + ∫₂³ + ∫₃⁴ + ∫₄¹

=Ay∆y + (Az+(∂Az/∂y∆y))∆z + (Ay+(∂Ay/∂z∆z))(-∆y) + Az(-∆z)

=((∂Az/∂y)-(∂Ay/∂z)) ∆y∆z

(curl A).ax = (∂Az/∂y)-(∂Az/∂z)

Untuk komponen y dan z dapat ditentukan dengan cara yang sama. Kombinasi ketiga komponen, dapat dilihat pada persamaan di bawah ini:

curl A = ((∂Az/∂y)-(∂Az/∂z)) ax+((∂Ax)/∂z-(∂Az)/∂x) ay+((∂Ay)/∂x-(∂Ax)/∂x) az (cartesian)

Penentu urutan ketiga dapat ditulis seperti persamaan di bawah ini, ekspansi yang memberikan curl Cartesian dari A.

curl A=|(ax&ay&az @ ∂/∂x&∂/∂y&∂/∂z @ Ax&Ay&Az)|

Elemen dari baris kedua merupakan komponen dari operasi del. Ini menunjukkan bahwa ∇×A dapat ditulis untuk curl A. Seperti pada ekspresi lain dari suatu analisis vektor, notasi ini digunakan untuk curl A dalam sistem koordinat lain, meskipun∇×A hanya didefinisikan dalam koordinat Cartesian saja.

Ekspresi untuk curl A pada koordinat silinder dan bola dapat diturunkan dengan cara yang sama seperti di atas. Meskipun, dengan kesulitan yang lebih tinggi.

curl A = (1/r (∂Az)/(∂∅) - (∂A∅/∂z)) ar + ((∂Ar/∂z) - (∂Az/∂r)) a∅ + ((∂(rA∅))/∂r - (∂Ar/∂∅)) az (silinder)

curl A = 1/(r sin⁡ ) [(∂(A∅ sin⁡θ))/∂θ - (∂θ/∂∅)] ar+1/r [1/sin⁡θ (∂Ar/∂∅)-(∂(rA∅)/∂r)] a∅ + 1/r [(∂(rA∅))/∂r-(∂Ar)/(∂∅)] az (sperikal)

Frekuensi penggunaan dari dua sifat operator curl, dapat dijelaskan sebagai berikut:

Perbedaan dari curl adalah nol skalar, yaitu: ∇.(∇×A) = 0 untuk setiap medan vektor A
Curl dari gradien adalah nol vektor, yaitu: ∇.(∇f) = 0 untuk setiap fungsi skalar dari f posisi (lihat problem) Dalam kondisi statis, E=-∇V, sehingga ∇×E=0

2.4 Hubungan dari J dan H

Pada hukum ampere, definisi persamaan dari (curl H)x dapat ditulis sebagai berikut:

(curl H).ax=lim_{(∆y ∆z→0)⁡}Ix/(∆y ∆z)- Jx

Dimana Jx=dlx⁄dS merupakan daerah kerapatan dari x arah arus. Sehingga komponen x dari curl H dan arah arus J sama pada setiap titik. Demikian pula pada komponen x dan y, dapat dilihat sebagai berikut.

∇×H=J

Ini merupakan salah satu persamaan dari Maxwell yang terdapat pada medan listrik statis. jika H diketahui pada seluruh daerah, maka ∇×H=J akan menghasilkan J untuk daerah tersebut.

Contoh Soal 3:

Sebuah konduktor yang panjang penampangnya lurus dengan jari-jari a memiliki kekuatan medan magnet H = (Ir⁄(2πa²)) didalam konduktor (r <a) dan="" h="(I⁄2πr)a∅" untuk="" r="">a. Tentukan J dikedua daerah konduktor tersebut ! Didalam kondustor,</a)>

J = ∇×H = -∂/∂z (Ir/(2πa² )) ar+1/r ∂/∂r ((Ir²)/(2πa² )) az = I/(πa²)az

yang sesuai dengan arus besarnya I pada arah + z yang terdistribusi merata diatas daerah penampang πa². Diluar konduktor,

J = ∇×H = -∂/∂z (I/2πr) ar+1/r ∂/∂r (I/2π) az = 0

2.5 Kerapatan Fluks Magnetik B

Seperti D, kuat medan magnetik H bergantung hanya pada muatan-muatan (yang bergerak) dan tak bergantung pada mediumnya. Medan gaya yang berkaitan dengan H adalah kerapatan fluks magnetik B, yang diberikan oleh:

B = μH

Dimana = μo μr , adalah permeabilitas medium tersebut dan satuan dari B adalah tesla.

1 T = 1 N/(A .m)

Permeabilitas ruang hampa μ0 mempunyai nilai 4π×10^(-7)dan satuan henry per meter H⁄m, permeabilitas relatif μr medium adalah suatu bilangan murni yang sangat dekat dengan satu.

Fluks magnetik Φ, yang melalui suatu permukaan didefiniskan sebagai berikut.

Φ = ∫SB .dS

Tanda Φ dapat positif atau negatif bergantung pada pilihan arah normal pada dS dan satuan fluks tersebut adalah weber, Wb. Satuan magnetik yang berbeda-beda ini dihubungkan melalui persamaan berikut.

1 T = 1 Wb⁄m² 1 H = 1 Wb⁄A

Contoh Soal 4:

Tetapkan besarnya fluks yang melalui bagian bidang ϕ = π⁄4 yang ditentukan oleh 0,01 < r < 0,05 m dan 0 < z < 2 m. Suatu arus sebesar 2,50 A sepanjang sumbu z adalah searah dengan az.

Gambar 2.5 Contoh Soal 4.png

Gambar 2.5 Contoh Soal 4

B = μ0 H = (μ0 I/2πr) aϕ

dS = dr dz aϕ

Φ = ∫0²∫0,01⁰,05(μ0I/2πr) aϕ dr dz aϕ

=(2μ0I/2π) ln⁡0,05/0,01

=1,61×10⁽-6) Wb

=1,61 μWb

Perlu diperhatikan bahwa garis-garis fluks magnetik Φ merupakan kurva (lengkungan) tertutup, yang tak mempunyai titik awal dan titik akhir. Ini berbeda dengan fluks listrik ψ yang berpangkal dimuatan positif dan berakhir dimuatan negatif. Seperti tampak pada gambar 2.7, semua garis fluks Φ yang masuk suatu permukaan tertutup, akan keluar lagi dari permukaan itu. Oleh karena itu, medan B tak mempunyai sumber ataupun lubang, yang secara matematis dinyatakan dengan persamaan berikut.

∇.B=0

Gambar 2.6 Garis Fluks yang Masuk pada Permukaan Tertutup.png

Gambar 2.6 Garis Fluks yang Masuk pada Permukaan Tertutup

2.6 Potensial Vektor Magnetik A

Pada mulanya medan listrik E diperoleh dari konfigurasi muatan-muatan yang telah diketahui. Belakangan dikembangkan pengertian potensial listrik V dimana E kita lihat dapat diperoleh sebagai negatif dari gradiennya, yakni E=-∇V. Persamaan Laplace kemudian memberikan cara memperoleh V dari pengetahuan besarnya potensial di perbatasan penghantar-penghantar. Demikian pula, potensial vektor magnetik A yang didefinisikan sedemikian sehingga,

∇ X A = B

berfungsi sebagai besaran perantara, dari mana dapat dihitung B dan H. Perhatikan bahwa definisi A konsisten dengan syarat ∇ . B=0. Satuan A adalah Wь/m atau T • m . Kalau diterapkan syarat tambahan, maka:

∇∙A=0

Maka potensial vektor A dapat ditentukan dari arus-arus yang diketahui di dalam daerah yang ditinjau. Untuk ketiga macam konfigurasi arus yang baku, persamaan - persamaannya adalah sebagai berikut:

Arus filamen : A = ∮(μIdI/4πR)

arus permukaan : A=∫S(μKdS/4πR)

arus volume : A=∫v(μJdv/4πR)

Di sini R adalah jarak elemen arus di titik dimana A hendak dihitung. Sebagaimana pula pada integral serupa bagi potensial listrik, persamaan-persamaan untuk A di atas adalah berdasarkan penganggapan tingkat harga nol di kedudukan tak berhingga; sebab itu rumus-rumus tadi tak dapat dipakai apabila arus-arus itu sendiri berlanjut sampai tak berhingga.

Contoh Soal 5:

Periksalah vektor potensial magnetik untuk arus garis I yang panjang dan lurus, dalam ruang bebas.

Gambar 2.7 Contoh Soal 5.png

Gambar 2.7 Contoh Soal 5

Dalam gambar 2.8 arus itu sepanjang sumbu z dan titik medan adalah (x,y,z). Ditunjukkan pula suatu elemen arus

I dI=Idl az

Pada l = 0 , dimaana l adalah variabel yang berubah sepanjang sumbu z. Jelaslah kiranya bahwa integral,

A = ∫(-∞)^∞(μ0 I dl/4πR) az

Akan tetapi, mungkin saja kita meninjau potensial vector diferensial.

dA = (μ0 I dl/4πR) az

Dan memperoleh dari padanya diferensial B. Jadi, oleh elemen arus yang khusus di l = 0, kita peroleh

dA=(μ0 I dl)/(4π(x²+y²+z²)⁽1⁄2) ) ax

dB=∇×dA

=(μ0 I dl/4π) [(-y)/(x²+y²+z²)⁽3⁄2) ax+x/(x²+y²+z²)⁽3⁄2) ay ]

Hasil ini sesuai dengan dH=(I⁄(μ0)dB) yang diberikan oleh hukum Biot-Savart

2.7 Theorema Stokes

Pada suatu permukaan terbuka S yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral komponen tangensial medan vektor F sepanjang C adalah sama dengan integral komponen normal dari curl F melalui permukaan S:

∮F.dl = ∫s(∇×F).dS

Jika F dipilih menjadi potensial vector magnetik A, maka Teorema Stokes dapat dirumuskan sebagai berikut:

∮A.dl = ∫sB.dS = Φ

BAB 3 Penutup

3.1 Kesimpulan

Adapun kesimpulan yang dapat ditarik dari makalah ini, adalah sebagai berikut:

Differensial medan magnetik, dH merupakan hasil dari differensial elemen arus I dH. Dimana, medan berbanding terbalik dengan jarak (r2), dan merupakan dan memiliki arah yang merupakan cross product dari I dI dan aR. Hubungan ini diketahui sebagai Hukum Biot-Savart, dimana dapat persamaan tersebut, dilihat seperi dibawah ini : dH = (I dI x aR)/(4πR² ) (A/m)
Integral garis dari komponen tangensial H sepanjang lintasan tertutup adalah sama dengan besarnya arus yang berada di sekitar lintasan itu, ∮H .dI=Ienc
Untuk memanfaatkan hukum Ampere dalam menentukan H haruslah ada simetri bertaraf cukup tinggi pada masalah yang dibahas. Dua syarat yang harus dipenuhi, adalah sebagai berikut : H haruslah bersifat normal atau tangensial pada setiap titik lintasannya. H memiliki nilai yang sama atau tetap untuk setiap titik lintasannya, jika H bernilai tangensial.
Curl dari medan vektor A merupakan medan vektor yang lain. Komponen curl dari A dalam arah an dapat didefinisikan sebagai berikut : (curl A).an=lim_(∆S→0)⁡(∮A .dI)/∆S
Hubungan antara J dan H, merupakan salah satu persamaan dari Maxwell yang terdapat pada medan listrik statis. jika H diketahui pada seluruh daerah, maka ∇×H=J akan menghasilkan J untuk daerah tersebut.
Kuat medan magnetik H hanya bergantung pada muatan-muatan (yang bergerak) dan tak bergantung pada mediumnya. Medan gaya yang berkaitan dengan H adalah kerapatan fluks magnetik B dengan satuan Tesla, dan dapat dirumuskan dengan : B=μH
Potensial vektor A dapat ditentukan dari arus-arus yang diketahui di dalam daerah yang ditinjau. Untuk ketiga macam konfigurasi arus yang baku, persamaan - persamaannya adalah sebagai berikut : Arus filamen : A=∮(μI dI)/4πR Arus permukaan : A=∫S(μK dS)/4πR Arus volume : A=∫v(μJ dv)/4πR
Dalam Teorema Stokes jika integral komponen tangensial medan vektor F sepanjang C adalah sama dengan integral komponen normal dari curl F melalui permukaan S, maka dirumuskan dengan : ∮F.dl= ∫s(∇×F).dS Namun, jika F dipilih menjadi potensial vector magnetik A, maka Teorema Stokes dapat dirumuskan sebagai berikut : ∮A.dl= ∫sB .dS= Φ

3.2 Usul dan Saran

Setelah penulis membuat makalah ini, maka usul dan saran yang dapat penulis sarankan adalah dalam melakukan perhitungan dengan menggunakan rumus-rumus diatas, hendaknya menguasai secara benar konsep-konsep dalam penggunaannya, agar tidak terjadi kesalahan yang mendasar dalam pengerjaannya.

Daftar Pustaka

Edminister, Joseph A. 1993. Schaum’s Outline Of Theory and Problems or Electromagnetics 2nd Edition. United States of America : The McGraw-Hill
Hayt, William H. 1982. Elektromagnetika Teknologi Jilid 2. Jakarta Pusat : Erlangga