리만가설의 증명이 정말 암호시스템을 위협할까?

안녕하세요! IOST입니다. 이번에는 몇 주 전, 보안 및 IT업계를 잠시 주춤하게 만들었던 리만가설에 대해서 알아보겠습니다.

리만 가설은 순서를 예측할 수 없는 수의 체계로 이루어진 소수를 예측할 수 있다는 가설입니다. 소수란, 중학교 수학에 나왔던 개념인데 기억하시나요?ㅎㅎ 약수로 1과 자기자신만을 가지는 수가 소수입니다. 예를 들면 2,3,5,7 처럼 약수로 1과 자기 자신만을 갖고 있는 수입니다. 4와 6같은 경우는 1과 자기 자신 이외에 다른 수를 약수로 갖고 있습니다. 따라서 소수가 될 수 없는 것이지요! 소수를 나열해본다면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...로 수의 규칙을 찾을 수 없습니다.

이러한 리만 가설은 '리만제타(ζ) 함수'로 불리는 복소함수의 특별한 성질에 관한 것으로 수학계에서 아직 풀리지 않은 가장 중요한 난제 중 하나입니다. 실제로 미국의 클레이수학연구소(CMI)에서 상금을 100만달러나 내건 7대 난제 중 하나 입니다.

RSA알고리즘과 블록체인과의 연관성?

그렇다면 이러한 소수의 체계를 알 수 있다는 리만가설은 왜 암호화 및 IT업계가 주춤하게 되었을까요? 그 이유는 바로 현재 보안시스템들은 모두 이러한 규칙이 없다는 소수의 특성을 이용하여 RSA 알고리즘을 이용하여암호화를 하고 보안성을 높이고 있기 때문입니다. 인터넷 보안에서 공개키와 비밀키를 생성할 시에, 소수를 어떻게 응용하고 있을까요? 크기가 비슷한 두 소수를 선택하고 두수의 곱을 구하여 이를 공개키로 지정합니다. 예를 들면 11과 13의 곱인 143으로공개키가 설정됩니다. 그렇다면 중요한 프라이빗키는 어떻게 생성이 될까요? 각 각의 소수에서 1을 뺀 수의 곱을 구합니다. 10*12 = 120 그 다음으로 1에서 120 사이에 있는 소수인 자연상수 23을 선택합니다. 다음으로 1과 120 사이에 있는 다른 소수(d) 47을 선택하게 됩니다. 이때 e와 d의 곱을 120으로 나누었을때, 나머지가 1이 되어야 하는 조건 하에 d를 선택해야 합니다. 이때 143과 47이 프라이빗 키가 됩니다.

RSA 알고리즘을 개발한 수학자

비교적 간단한 수로 비교를 해보았는데도 상당히 복잡한 것을 알 수 있습니다. 이렇게 소수를 이용하여 공개키와 암호키를 설절하는 방식인 RSA를 지금 블록체인에서도 이용하고 있습니다. 리만가설이 참으로 증명된다면, 완전한 소수의 규칙성을 알게 되고 현 보안 시스템이 무너지게 되는 것일까요? 답은 그렇지 않다입니다. 천재 수학자인 존 내쉬가 리만가설을 증명하기 위해서 정신분열증까지 생기는 일이 발생할 정도로 난제였지만, 이렇게 난제인 리만가설이 증명된다고 해도, 현재 암호화 시스템에는 문제가 되지 않습니다.

왜냐하면 리만가설이 증명할 수 있는 소수의 자리 수는 25째자리수의 소수까지 입니다. 그러나 현재 블록체인 및 암호화에 사용되고 있는 RSA알고리즘은 100자리수 이상의 소수를 암호화하는데 쓰고 있기 때문입니다. 실제로 129자리 수의 합성수가 어떤 수의 합성수인지 계산하는 과정에서 1600여대의 컴퓨터가 1년동안 컴퓨팅 파워를 사용해야 했기 때문입니다. 그러나 현재 인터넷 뱅킹등의 암호화 과정에서는 RSA 2048자리의 합성수를 이용하므로 이를 뚫는 것은 고성능 슈퍼컴퓨터러도 수 만 년이 소요된다고 합니다.

따라서 리만가설의 증명이 현재 우리가 블록체인 및 다양한 보안시스템에서 쓰이고 있는 RSA 알고리즘의 보안성을 뚫을 수 있다는 것은 현실적으로 불가능한 일이고, 하나의 썰(?)처럼 생각하시면 될 것 같습니다.

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