[수학] 1을 무한번 곱한 것은 무엇일까?

1을 무한히 곱하면 그것은 무엇일까?

1을 유한번 곱하면 답은 1이다. 근데 1을 무한번 곱하면 1일까? [참고로 1을 무한번 더하면 무한대라는 것은 쉽게 짐작 가능하다.]

절대값이 1보다 큰 수의 경우에는 무한번 곱하면 무한대가 된다. 작은 수의 경우 무한번 곱하면 0이 될 것이다. 그러나 절대값이 1인 경우에는 어떻게 될까?

정답은 무한대이다. 사실 이는 로그의 정의와 관련이 있다. 1의 무한번 곱을 A라 가정하고 로그를 취해보면 유한한 것의 무한번 덧셈이 되어 무한이 된다.

[과연? @blockchainstudio 님이 댓글로 이것이 잘못된 것이라는 것을 보여주셨다. log(1) =0 이기 때문에 사실 무한대 0 (이 0은 exact 한 값) 즉 0을 무한번 더해도 0이니 0이 된다. 이런 ㅋㅋ 초등학생(?) 친구에게 잘못 알려준게 되버렸군 ㅋㅋㅋ;

이런 경우의 문제에서는 Indeterminate 즉 부정형으로 정의가 잘 되지 않는다. 비슷한 질문을 0^0 에도 할 수 있겠다. 이 두 0이 모두 exact 한 값이라면 어떻게 지수의 0 을 정의하는 가에 따라 달라지겠지만, 0으로 가는 극한값인 경우에 똑같은 문제가 발생한다.* 더 자세히 알고 싶다면 위키 링크를 참조

즉 극한을 취할 때 그 1이 정말 exact 한 1과 0인지 아니면 극한값이 1이나 0으로 가는지가 중요하다.

좀 더 생각해보고 글을 쓸껄 ㅋㅋㅋ 이런 ㅋㅋㅋ 실수가 박제되어 버렸군 ㅋㅋㅋㅋ

그래도 이렇게 실수했으니 다시는 까먹지 않을듯!!!

]

추후에 무한과 유한에 대한 이야기를 한번 정리해 보는 시간을 가져봐야 겠다. 잠깐 편의점에 햄버거와 라면을 사러 가는 동안 엘레베이터에서 만난 한 친구의 질문에 이런 포스팅을 남긴다. [Sorry]

[* 흠 log1 의 값을 생각 안 한 것을 둘째 치고, 내 머릿속에 Product에 관해서 Arbitrary product 와 finite product 를 생각하면서 Product topology 를 생각해서 그 차이를 고려한다고 하면서 이런 사단이 일어난듯 싶다.* ㅠㅠ 너무 오랜만에 테크닉컬한 것이 아닌 이런 것을 생각해서 그런가? ㅋㅋㅋ ]