투자금 배분 전략: 현금 보유는 얼마나 해야될까? - 최적의 현금 보유 비중을 계산하는 켈리의 법칙

안녕하세요? 알파J인베스트먼트 대표 Alpha J 입니다.

투자금을 어떻게 "베팅"해야 될까?

2탄입니다.

1탄의 내용을 이해했다고 가정하고 본 포스팅은 작성되었습니다.

아직 1탄을 읽지 않으신 분들은 링크에서 꼭 1탄을 읽고 오시길 권장드립니다.

지난 글에서, 투자금을 얼마나 베팅하냐에 따라 수익률이 달라지는 기본적인 원리를 설명드렸습니다.

즉, 전략의 현금 보유 정도에 따라 수익률이 얼마나 달라지는 지를 설명드렸습니다.

모든 투자 행위에 있어서 매우 중요한 요소입니다.

수익률과 리스크 관리에 지대한 영향을 미치기 때문이지요.

이번 시간에는 저번 글에서 마지막에 나왔던 질문에 대한 답을 적어보도록 하지요.

그러면, 과연 원금 대비 몇 %의 투자금을 넣는게 수익을 최대화하는 길인가? 그것을 계산하는 공식이 있는가?

저번 글에서도 말씀드렸다시피, 이 질문에 대한 답은, Yes입니다.

원금에 대비해 몇 %의 투자금을 넣는게 가장 최적의 수익을 내는 것인지를 계산하는 방법을 1970년, 켈리라고 부르는 천재가 예전에 발견해서, 공식화 하였습니다.

이 위대한 학자의 이름을 본 따서, 우리는 이를 켈리 공식, 혹은 켈리 베팅이라고 부릅니다.

켈리 공식을 간단히 이해하기 위해, 간단한 예제를 하나 들어보겠습니다.

주사위를 던져서 주사위 눈을 맞추면, 원금의 6배를 주는 게임이 있다고 해봅시다.

즉, 만약 만원을 투자하면, 맞히면 6만원을 주고, 틀리면 모두 잃습니다.

이런 게임에서 우리가 이길 확률을 각 주사위 눈이 나올 확률 그대로, 즉 1/6으로 잡는다면, 만원을 투자하면 기대수익은 만원, 즉, 본전입니다.

그런데 만약 이 상황에서, 어떤 사람이 미래를 꿰뚫어보는 직감(?)이 있어서, 주사위 눈을 맞출 확률이 1/3이라고 합시다.

그러면 이 사람이 이 게임에 만원을 투자하면 기대수익은 2만원, 즉 2배가 됩니다.

위 사례보다, 이 사람은 남들보다 만원만큼 유리하게 게임을 할 수 있습니다.

이를 앞으로 이 사람은 주사위 게임에서 1 만큼의 정보우위를 갖는다고 표현합시다.

다른 예를 하나 더 들면,만약 어떤 사람은 더 좋은 직감을 갖고 있어서, 주사위 눈을 1/2의 확률로 맞출 수 있다면, 이 사람의 기대수익률은 3만원이 되고, 이 사람은 주사위 게임에서 2만큼의 정보우위를 갖는다고 할 수 있습니다.

주사위 게임은 맞추면 5배의 원금대비 수익을 가져다 줍니다.

이를 우리는, 배당률이 5인 게임이라고 표현할 수 있습니다.

켈리 법칙으로 이 게임을 진행한다고 가정하면, 어떤 시점이든 게임에 참여한 플레이어는

자신이 보유한 총 베팅 금액에 대해 내가 보유한 정보우위 / 배당률 만큼의 금액을 투자합니다.

위 주사위 게임 예제에서, 정보우위를 1만큼 더 갖는 플레이어는 보유 금액의 1/5만큼의 금액을 매 게임 투자하고, 정보우위를 2만큼 더 갖는 플레이어는 보유 금액의 2/5만큼의 매 게임에 투자하면 최적의 수익을 얻을 수 있습니다.

이 비율로 투자를 할 때, 가장 높은 기하평균 수익을 올릴 수 있습니다. 이 비율보다 투자 금액이 낮아지거나, 높아져도 기하수익률은 내려가게 됩니다. 최적의 비율이라는 얘기이지요.

이를 우리는 "켈리 비율"이라고 부릅니다.

여기에 대한 증명을 여러분들이 이해하기 쉽게 적어드리고 싶으나.. 이는 필자의 능력 범위를 벗어나는 일일 것 같으니 패스하도록 하지요. ^^;

자, 이제 그러면 남은 일은 2가지 입니다. 우리는 주식 시장에 관심이 있지요. 우리가 해야 될 일은,

1. 주식 시장에서 우리가 갖고 있는 정보우위가 얼마인지?
2. 주식 시장의 배당률이 얼마인지?

를 구해야되는 겁니다. 그러나, 애석하게도 이는 쉽게 구할 수 있는 값이 아닙니다.

먼저, 주식 시장에서 우리가 갖고 있는 우위는 다른 지표를 갖고 구할 수 있습니다.

샤프 지수 같은 것을 쓰면 우리가 시장에서 얼마만큼의 정보 우위를 갖고 있는지 알 수 있지요.

문제는.. 배당률입니다.

주식 시장에서 배당률은 어떻게 정의가 될까요?

과연, 주식 시장의 배당률을 어떻게 정의할 수 있을까요?

주식이 오르고 내리는 확률을 우리는 알 수 있을까요?

만약 오르고 내린다면, 올랐을 때 내가 얻는 수익의 폭과 손실의 폭은 어느정도 일까요? 우리가 그것을 정의할 수 있을까요?

이 토픽에 대한 수많은 논의와 수많은 연구가 지금까지 진행이 되었었습니다.

그 중, "근사치라도" 켈리 비율을 구하는 방법은 있습니다. 바로, 다음과 같이 말이지요.

켈리 비율 = 투자의 초과 수익 / 수익 표준 편차의 제곱

여기서 초과 수익은 무위험 자산 (국공채 등) 혹은 코스피와 같은 벤치마크 지수 대비 전략의 초과 수익으로 정의됩니다.

예를 들어, 어떤 투자의 연 수익률이 10.7%라고 하고, 수익률의 표준편차를 12.4%로 잡읍시다.

무위험 자산의 수익률을 3%로 가정하면 초과수익은 10.7% - 3 % = 7.7%가 됩니다.

위 수식에 값들을 대입해보면 이 전략의 켈리 비율은

켈리 비율 = 0.077 / (0.124)^2 = 5.01

이 됩니다.

여기서 잠깐....이상하지 않습니까? 투자금의 5배 만큼을 베팅하라는 결과가 나왔다고!?!?

네 맞습니다. 투자의 초과수익률이 충분히 높다면, 켈리 비율은 돈을 더 빌려서라도 베팅하는, 즉, 레버리지를 쓰는 것을 권고합니다.

게임 자체가 나한테 너무 유리한 게임이니, 돈을 빌려서라도 베팅해야 된다! 라는 말이 되는 것이지요.

현실은 레버리지를 쓰려면 돈을 빌려야 되고, 이자율도 고려해야 되고, 전략의 실제 초과 수익도 실전에서는 낮기 때문에,

켈리 비율보다는 낮은 금액을 베팅해야 되지만 말입니다. 어디까지나 이는 이론입니다.

그리고, 이 수식에는 치명적인 단점이 하나 있는데, 바로 수익률의 분포가 정규분포를 따른다는 가정이 전제 되어야 합니다.

그리고 현실을 보면, 주식의 수익률을 정규분포를 따르지 않는 경우가 대부분입니다.

그래서 사실, 위 수식으로 켈리 비율을 구하면, 정확하지 않은 비율이 나오는 경우가 대부분이지요..

그러면 어떻게 해야 되느냐?

사실, 애석하게도 이제부터는 경험적으로 켈리 비율을 구할 수 밖에 없습니다.

연구결과들을 찾아보아도 주식 시장에서 정확히 켈리 비율을 구한 사례는 아직까지는 없습니다.

(이 부분은 제가 틀릴 수도 있으니.. 아시는 분은 제보 부탁드립니다)

그러나, 위 수식은 한 투자의 켈리 비율이 "대략" 어느정도가 될지를 알려주는 좋은 출발점이 됩니다.

수익률이 정확히 정규분포를 따르지 않아 오차가 발생하긴 하지만, 그래도 그 근처에 켈리 비율이 존재한다는 말이지요.

이 방법으로, 저희 회사에서 개발하고, 배포중인 가치투자 로보어드바이저 V.I.A.I에서 사용중인 수익 극대화 전략의 켈리 비율을 구해보면, 대략 4.2가 나옵니다.

돈을 빌려서라도 4.2배만큼 베팅을 하는 것이 최고의 수익을 낼 수 있다는 것이지요.

아래는 투자 금액을 다르게 했을 때 수익률 결과입니다.

• 레버리지 500%
  

• 레버리지 450%
  

*레버리지 420%

*레버리지 400%

*레버리지 200%

*현금

420%까지는 수익률이 계속 상승하다가, 그 이후로는 수익률이 급격히 떨어지는 것을 볼 수 있습니다.

물론, 위에서도 얘기했지만 현실은 이자비용도 고려해야되고, 리스크가 너무 높아지는 것 역시 고려해야 되기 때문에 420% 그대로 쓰는 것은 좋지 않은 선택입니다.

켈리 비율의 절반 값을 하프 켈리 비율이라고 하는데, 보통 프로 도박사들이 즐겨 사용하는 베팅 전략입니다. 수익률이 줄긴 하나, 변동성을 극도로 줄일 수 있어 많이들 사용하는 전략이지요.

위 전략은 하프 켈리 비율을 취해도 210%의 레버리지를 써야 한다는 결과가 나옵니다.

투자금의 1.1배 만큼을 더 빌려서 투자해야 된다는 말이지요.

이것도 제 생각에는 너무 리스크가 커서.. ^^; 저는 그냥 현금 100%를 쓸 것을 권고합니다.

좋은 투자 전략의 경우, 대부분 켈리 비율이 1을 넘는 경우가 많습니다

세계적인 퀀트 펀드로 유명한 르네상스 테크놀로지도 레버리지를 엄청 많이 쓰는 것으로 유명하지요.

켈리 비율이 높게 나와서 그런게 아닐까 합니다.
.
그러면 실제로 레버리지를 써야하느냐? 그건 투자자가 전략을 얼마나 신뢰하냐에 따라 달린 문제인 것 같습니다.

만약 켈리 비율이 1 이하로 나왔다면, 무조건 그 값을 따르는 것이 좋습니다.

기하 평균을 극도로 올리면서 리스크도 줄일 수 있는 최고의 방법이 되기 때문입니다.

그러나 레버리지를 쓰라는 결과가 나왔다면, 투자자의 성향에 따라 이를 따르던지, 하프 켈리 비율을 따르던지, 아니면 가진 현금만 투자하던지.. 여러 방법 중 하나를 골라야 할 것입니다.

지금까지, 투자금 베팅 방법에 대해 말씀드렸습니다.

사실, 위에서도 말했지만, 투자에서 켈리비율을 적용하는 것은 주식의 배당률과 정보우위를 정확히 알기 어려워 아직 완벽한 공식이 나오지는 않은 상황입니다.

그러나 자신이 가진 정보우위가 어느정도인지, 주식의 배당률이 어느정도 일지를 대충이라도 계산해서 맞추어보면, 일반 투자에서도 켈리 비율을 "대충"이라도 구해서 쓸 수 있겠지요.

필자가 자주 인용하는 버핏의 명언이 다시 한 번 생각나네요. 그 명언을 적고 글을 마무리 하겠습니다.

완전히 틀리는 것 보다 대충이라도 맞는 것이 낫다.
-워렌 버핏