안녕하세요! ryanhan입니다.
지난번 포스팅에서 9의 배수판정법을 알아보는 시간을 통해
배수판정법에서 ‘자릿수’에 집중하다는 것이 중요하다는 것을 알았습니다.
그렇다면 또 어떤 수들의 배수판정법들이 있을까요?
한 번 알아보도록 하겠습니다.

9의 배수판정법에 대한 고찰

저번 포스팅에서 알아본 9의 배수 판정법을 다시 정리해보면,
어떤 수를 자릿수에 집중해서 보면,
10000a+1000b+100c+10d+e 꼴로 쓸 수 있다고 하였습니다.
(1~99999까지의 수.)

이 수를 9로 묶어 보면
9(1111a+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)로 나타낼 수 있기 때문에
(a+b+c+d+e)가 9의 배수이면
10000a+1000b+100c+10d+e가 9의 배수라고 할 수 있습니다.

이렇게 될 수 있었던 이유를 생각해보자면,
9가 10에서 1을 뺀 수이기 때문일 것입니다.
9로 묶으면 자릿수가 하나씩 남게 되는 것이죠.

9와 11의 관계.

9가 10에서 1을 뺀 수여서 쉽게 배수판정법을 알 수 있었습니다.
그러면 혹시, 10에서 1을 더한 수인 11은 어떨까요?

수식을 이용해서 논해보겠습니다.
10000a+1000b+100c+10d+e를 11로 묶어볼까요?
11(909a+90b+9c)+(a+10b+c+10d+e)가 되는군요.
a+10b+c+10d+e라니…나쁘진 않지만 10b, 10d가 거슬립니다.
여기에서 한 걸음 나아가서 다음과 같은 생각을 해봅니다.
10b를 11로 묶으면, 11(b) – b 꼴로 표현할 수 있지 않을까요?

이를 이용해서 다시 묶어보면,
11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)로 묶을 수 있습니다!!
즉, a-b+c-d+e가 11의 배수이면,
원래 수인 10000a+1000b+100c+10d+e가 11의 배수입니다.

홀수번째 자리의 합과 짝수번째 자리의 합의 차를
이용하여 11의 배수인지 판단해볼 수 있겠습니다!

숫자 1001의 비밀

9의 배수와 11의 배수를 판단하는 과정에서,
10에서 1차이난다는 것이 중요한 역할을 한다는 것을 알았습니다.
그 다음으로 생각해볼 수는
99나 101의 배수 판단법일 것입니다.
이것도 마찬가지로 ‘묶는 방법’을 통해서 판단할 수 있겠죠.
하지만, 99의 배수는 9의 배수이자 11의 배수인 성질을 이용하는게 더 편하고
101은 소수인데, 이렇게 큰 소수의 배수는 판단할 일이 거의 없습니다.
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그런데, 그 다음으로 생각해볼 수인 1001은 한 가지 비밀을 가지고 있습니다.
1001은 소수일 것 같이 생겼는데요,

실제로 1001 = 7 x 11 x 13으로 소인수분해가 된다는 점입니다.

(5보다 큰 연속된 세 소수의 곱이군요!! 놀랍습니다.)
이 성질을 이용하면 7과 13의 배수판정법을 구할 수 있습니다.
7의 배수판정법에 대해서 논해보겠습니다.

100000a+10000b+1000c+100d+10e+f를
7로 묶는 대신 1001로 묶을 겁니다.
1001로 묶는 것은 7로 묶는 효과를 포함하고 있죠.
1001(100a+10b+c) + (-100a-10b-c+100d+10e+f)
그럼 위와 같이 묶이게 되는데요.
이것은 어떤 의미를 가지고 있을까요?

일단 그냥 보기에는
(100d+10e+f)-(100a+10b+c)가 11의 배수 인지 확인하면 됩니다.
그런데 (100d+10e+f) 와 (100a+10b+c)는
원래의 숫자를 세 자리씩 끊어서 보는 것 과 같습니다!!

예를 들어, 원래 숫자가 108,374였다면
(100a+10b+c)=108이고
(100d+10e+f)=374일 것입니다.
이제 이 둘의 차인 266이 7의 배수인지 확인해보면 되겠습니다.
실제로 266이 7의 배수이기 때문에 108374도 7의 배수입니다!

즉, 7의 배수 판정법은
뒤에서부터 숫자를 세 개씩 끊어서 교대로 빼고 더한 수가
7의 배수인지 확인하는 방법을 통해 판단할 수 있습니다.
비슷한 방법으로 13의 배수 판정법도 구할 수 있습니다!!
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오늘은 숫자1001속에 숨어있는 비밀과
그것을 이용한 7의 배수 판정법을 알아봤습니다.
설명을 못해서 글이 너무 길어졌네요…
나중 포스팅에서 더욱 쉬운 7의 배수 판정법인
‘라이언스의 방법’에 대해서도 다뤄보겠습니다.
읽어 주신 분들 정말 감사드립니다.
ryanhan이었습니다.