Demostremos que la familia {Z*: z ϵ Z(X, τ)} es una base de cerrados. Para ello tenemos que ver: (a) Si Z, Z´ ϵ Z(X, τ), entonces Z* ∪ (Z´)* = ∩ Z i*, donde Z i ϵ z(X, τ) (b) ∩ Z ϵ z(X, τ) Z* = ∅ . Es fácil demostrar que Z* ∪ (Z´)* =(Z ∪ Z´)* y como Z ∪ Z´ ϵ Z(X, τ) la parte (a) queda probada. Para ver (b) considere la función f(x)=1, para todo x ϵ X. Como Z= f − 1(0) = ∅, se deduce la parte (b). La topología inducida por esta familia de cerrados sobre β(X) se denota por β(τ ).
Para cada x ϵ X, existe un F único z(X, τ)−ultrafiltro, tal que converge a x. Sea F = F x , es conocido que F x converge a x, por ser F x un z(X, τ)−filtro primo con x ϵ ∩ {Z: Z ϵ F x}, la unicidad es inmediata. Escribimos F x–> x. Por lo tanto podemos definir h: X –>β(X) por h(x)=F x. Se quiere demostrar que h: (X, τ) –> (β(X),β( τ )|h(X) es un homeomorfismo, donde β( τ )|h(X) es la topología relativa a la imagen h(X). La función h es inyectiva, En efecto si x ≠ y, como los puntos son cerrados, existe una f ϵ C(X, τ), tal que f(x)=0, f(y)=1. Esto dice que F x ≠ F y.
Veamos que h(Z)–β(τ ) =Z* ( h(Z)–β(τ ) es la clausura topológica en β( τ )). En efecto, si x ϵ Z, entonces Z ϵ F x . Esto dice que h(Z) ⊂ Z* y se tiene por lo tanto h(Z)–β(τ ) ⊂ Z* . Por otro lado si F ϵ Z* y U= β(X) – (Z´)* es un entorno básico de F, existe un x ϵ Z, tal que F x ∉ (Z´)* . De lo contrario Z ⊂ Z´ y esto asegura que F ϵ ( Z´)* lo que es contradictorio. Es prueba que Z* ⊂ h(Z)–β(τ ) y asegura lo afirmado. De lo anterior podemos deducir que h(Z) = Z* ∩ h(X). En efecto, de lo anteriormente probado h(Z) ⊂ Z* ∩ h(X). Se ahora F x ϵ Z* , luego Z=f − 1(0) ϵ F x es decir f(x)=0, por lo tanto x ϵ Z. Es decir Z* ∩ h(X) ⊂ h(Z). Hemos realmente demostrado que h: (X, τ) –> (β(X),β( τ )|h(X)) es un homeomorfismo.
Es directo demostrar que, si Z, Z´ ϵ z(X, τ), entonces Z* ∩ ( Z´)* = (Z ∩ Z´)* ; por lo tanto h(Z ∩ Z´)–β(τ ) = h(Z)–β(τ ) ∩ h(Z´)–β(τ) .
Pasemos ahora a demostrar que (β(X),β( τ )) es un espacio compacto. Para ello basta ver que una subfamilia {Z i *: i ϵ I} que cumple con la propiedad de las intersecciones finitas tiene intersección no vacía. En efecto se tiene que Z i1 *∩...∩Z ik * = (Z i1∩...∩ Z ik) * ≠ ∅ . Se deduce por lo tanto que existe un Z(X, τ)−filtro ultrafiltro F tal que Z i ϵ F para todo i ϵ I, por lo tanto F ϵ Z i * para todo i ϵ I. Esto prueba la compacidad.
Veamos que (β(X),β( τ )) es un espacio Hausdorff. Sean F, F´ ϵ β(X) con F ≠ F´. Existen Z= f– 1 (0) ϵ F, Z= g– 1 (0) ϵ F´tales que Z ∩ Z´= ∅. Sea h = |f|/(|f|+|g|). Es claro que h está bien definida y h ϵ c(X, τ). Sea Z´´={x: h(x) ≥ 1/3 } y Z´´´= {x: h(x) ≤ 1/3 }. Es claro que Z´´, Z´´´ ϵ Z(X, τ) y Z´´ ∪ Z´´´ = X, Z´´ ∩ Z = ∅ y Z´´´ ∩ Z´ = ∅. Es fácil ver que ( β(X)−(Z´´)*) ∩ (β(X) −(Z´´´* )= ∅ y que F ϵ β(X)−(Z´´)*, F´ ϵ β(X) −(Z´´´)*. Se demuestra la condición de Hausdorff.
Vamos a demostrar que h(X)–β(τ ) = β(X). En efecto, sea Z ϵ z(X,τ)− { X }. Entonces β(X) − Z*es un abierto no vacío. Sea x ϵ X − Z, luego F x ϵ β(X) − Z*, es decir (β(X) − Z* ) ∩ h(X) ≠ ∅ lo que prueba lo afirmado.
Finalmente, veamos que dada γ: (X, τ) → (X´, τ´) es una función continua, tal que (X´, τ´) es compacto Hausdorff, entonces existe una única γ´: (β(X),β( τ )) → (X´, τ´), tal que γ´(h(x))=γ(x), para todo x ϵ X . En efecto, sea F ϵ β(X) y consideremos F´= {Z´ϵ z(X´, τ´) : γ – 1 (Z´) ϵ F } . Es fácil demostrar que F´es un Z(X´, τ´)−filtro primo y como (X´, τ´) es compacto Hausdorff, existe un único x´ϵ ∩ {Z´: Z´ϵ F´ } . Se define γ´(F)= x´. Hay que demostrar que la función es continua. Sea U un entorno de x´, existe g ϵ c(X´, τ´) tal que g – 1 (0) es un entorno de x´, con g – 1 (0) ⊂ U, luego existe un abierto V entorno de x´, tal que V ⊂ g – 1 (0). Por ser (X´, τ´) completamente regular, existe una f ϵ c(X´, τ´), tal que f(x´)=1 y f(X − V)=0. Se deduce que X´= g – 1 (0) ∪ f – 1 (0) luego X= (go γ) – 1 (0) ∪ (fo γ)– 1 (0) ϵ F. Es directo ver que (fo γ)– 1 (0) ∉ F, es decir β(X) −( (fo γ)– 1 (0)) * es un entorno de F. Veamos que γ´(β(X) −( (fo γ)– 1 (0)) * ) ⊂ g – 1 (0). En efecto, si W ϵ β(X) −( (fo γ)– 1 (0)) * y γ´(W)=w´ ∉ g – 1 (0), es claro que g – 1 (0) ∉ W´, luego f – 1 (0) ϵ W´ y por lo tanto (fo γ)– 1 (0) ϵ W, lo que es contradictorio. La unicidad de γ´ sale usando la parte anterior.
Se dice que (β(X),β( τ )) es la compactificación de Stone–Čech del espacio de Tychonoff (X, τ).
UNA APLICACIÓN AL ESPACIO DE LAS FUNCIONES CONTINUAS SORE UN ESPACIO DE TYCHONOFF
Sea (X, τ) un espacio de Tychonoff y Y = Spect(c(X, τ)).
Si Spect(c(X, τ))=Max (c(X, τ))= {P: P es un ideal máximal de c(X, τ) }, entonces toda f ϵ c(X, τ) es localmente constante.
Como Spect(c(X, τ))=Max (c(X, τ)), entonces en la topología de Zariski (Spect(c(X, τ)), τ Z ) los cerrados básicos D(f)={P ϵ Spect(c(X, τ)) : f ϵ P } son abiertos y cerrados. Consideremos θ : (Max(c(X, τ)), τ Z ) → (β(X),β( τ )) por θ(P)= F(P)={ f – 1 (0): f ϵ P } . Como P es un ideal máximal, entonces F(P) es un Z(X, τ)−ultrafiltro. Es decir la función está bien definida. La aplicación es inyectiva, ya que si θ(P) = θ(P´), entonces F(P)=F(P´), luego J(F(P))=J(F(P´)), donde J(F(P))={f ϵ (c(X, τ): f – 1 (0) ϵ F(P) } y de la misma manera se define J(F(P´)). Como P, P´son máximales, es conocido que P=J(F(P))=J(F(P´))=P´. Esto prueba lo afirmado. Veamos que es sobreyectiva. Si F ϵ (β(X),β( τ )), entonces J(F)={f ϵ c(X, τ): f – 1 (0) ϵ F} es un ideal primo máximal, luego θ(P)= F. Veamos que θ(D(f))=( f – 1 (0))* . En efecto, si f ϵ P con P ideal máximal, luego f – 1 (0) ϵ F(P). Esto dice que F(P) ϵ ( f – 1 (0)) y prueba que θ(D(f)) ⊂ ( f – 1 (0) )* . Por otro lado, si F ϵ ( f – 1 (0))* entonces f – 1 (0) ϵ F, es decir f ϵ J(F) y por lo tanto J(F) ϵ D(f). Esto garantiza la otra inclusión. Como θ es biyectiva y continua entre espacios compactos Hausdorff es un homeomorfismo.
Note que lo anterior me está diciendo que (Max(c(X, τ)), τ Z ) es realmente la compactificación de Stone–Čech del espacio de Tychonoff (X, τ).
Veamos que si Spect(c(X, τ))=Max (c(X, τ)), entonces dada f ϵ c(X, τ), f es localmente constante. Basta demostrar que si f ϵ c(X, τ) y f(x)=0, existe un entorno U de x tal que f(y)=0, para todo y ϵ U. Sabemos del resultado anterior que ( f – 1 (0))* es abierto, luego existe W abierto tal que F x ϵ W ⊂ ( f – 1 (0))*. Se deduce que x ϵ h – 1 (W) ⊂ h – 1( f – 1 (0))*. Si y ϵ h – 1 (W), entonces F y ϵ ( f – 1 (0) )* luego f(y)=0, lo que prueba el resultado.
Se prueba que si (X, τ) es espacio de Tychonoff, son equivalentes (a) Dada una familia de abiertos, U 1, U 2,..., Un,...., entonces ∩
Un es un abierto de la topología. (b) Cada f ϵ c(X, τ) es localmente constante. La demostración es exactamente la misma para el caso estudiado para c(X, τ) con (X, τ) compacto Hausdorff.
Se deja como ejercicio ver que si f ϵ c(X, τ) con (X, τ) es localmente constante, entonces Spect(c(X, τ))=Max (c(X, τ)).
REFERENCIAS
BOURBAKI. Algèbre Conmutative (Hermann)
M. F. ATIYAH, I. G, MACDONALD : Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte, 1978.
STEPHEN WILLARD: General Topology. Adisson - Wesley, 1970.
J. MARGALEF ROIG, E. OUTERELO DOMINGUEZ, J. L. FERRANDO : Topología (Volumen III). Editorial Alhambra.1980