_{^{BREVES TOPOLÓGICOS}}

Consideremos un conjunto cualquiera X, y 2^X la familia de los subconjuntos de X. Una subfamilia τ se dice que es una topología sobre X, si cumple las propiedades: (1 ) ∅, X ∈τ, (2 ) Dados U, V ∈τ, entonces U ∩V ∈τ, (3 ) Dada una familia indexada U_i ∈τ (i ∈I), entonces ∪U_i ∈τ.

Nos interesa estudiar algunas propiedades de los espacios topológicos (X,τ). Diremos que (X,τ) es un espacio topológico de Hausdorff, o un T₂ espacio topológico, si dados dos puntos diferentes x,y ∈ X, existen abiertos U, V ∈τ con U ∩V=∅, tales que x ∈U, y ∈V. Se dice que (X,τ) es un espacio topológico T₁ , si existe un U ∈τ con x ∈U, y ∉U con reciprocidad incluida.

El espacio topológico (X,τ) es compacto, si tiene la propiedad de las intersecciones finitas, es decir dada una familia F_i de cerrados, tales que F_i1 ∩...∩ F_ik ≠ ∅ para toda sucesión finita de índices (i₁,...,i_k); entonces ∩F_i ≠ ∅ . Esta propiedad es equivalente a decir que dado un cubrimiento X⊂∪U_i (U_i ∈τ, i ∈I), existe un subcubrimiento finito X⊂U_i1 ∪ ...∪ U_ik .

Es importante señalar en este resumen de topología que, todo espacio topológico (X,τ) que es T_{2 ,} es un espacio topológico T₁. El recíproco sin embargo es falso. Por ejemplo consideremos X=R, el conjunto de los números reales y vamos a decir que U⊂R es un abierto si R−U es numerable. Si U, V ∈τ , entonces R−(U∩ V)=(R−U)∪ (R−V) es numerable, por lo tanto U ∩V es abierto. Si U_i es una familia de abiertos, entonces R−∪U_i =∩(R−U_i )es numerable. Es decir la topología está bien definida. Veamos que es T₁ . En efecto si x,y ∈R con x ≠ y, es claro que U=R−{y } es un abierto tal que x ∈ U, pero y ∉ U. Finalmente veamos que no es T₂ . Si lo fuera, existirían abiertos disjuntos U, V ∈ τ con x ∈ U, y ∈ V. Como U ∩ V=∅ , tomando complementos, obtenemos que (R−U)∪ (R−V) = R, lo que indicaría que R es numerable y esto es contradictorio.

^{_{TOPOLOGÍA DE ZARISKI}}

En un anillo conmutativo con identidad (A,+,.), recordemos que un ideal es un subconjunto propio J del anillo A, tal que (J,+) es un grupo abeliano conmutativo y para cada a∈ A, a.J={ a.b: b∈J }⊂J. Es claro que por nuestra definición de ideal 1∉J. El ideal J={ 0} lo llamaremos el ideal nulo y lo denotaremos también por 0. Si por U(A) entendemos a los elementos invertibles multiplicativos del anillo, es claro que U(A)∩J=∅.

Un subconjunto importante en los anillos conmutativos con identidad (A,+,.), son los multiplicativo, es decir aquellos subconjuntos S del anillo A, tales que 1∈S y dados dos elementos a, b∈S, entonces a.b ∈S. Las unidades del anillo U(A) constituyen un conjunto multiplicativo. Diremos que un ideal J es primo, si S=R−J es un subconjunto multiplicativo, que es equivalente a decir que, si a.b ∈ J, entonces a ∈ J. o b ∈ J.


Dado un ideal cualquiera J, se define la relación de equivalencia, a≡b, si y sólo si, a−b∈J. Si denotamos por A|J el conjunto de las clases, podemos definir para dos clases [a ], [b ]∈ A|J, las operaciones [a ]+[b ]= [a +b] y [a ].[b ]= [a .b] las cuales están perfectamente definidas, con [0 ] y [1 ] sus respectivos elementos neutro y unitario. Es fácil ver que si A|J es un dominio de integridad, entonces J es un ideal primo. En cambio si A|J es un cuerpo, diremos que el ideal J es máximal. Ser J máximal es equivalente a decir que no existe un ideal primo P⊃J.



Dado un anillo conmutativo con identidad (A,+,.), diremos que su nilradical es el conjunto R(A)=∩{ P: P es un ideal primo de A}. Es directo ver que a∈R(A), si y sólo si, existe una potencia natural n, tal que aⁿ =0. Los elementos con esta propiedad se dicen nilpotentes.

Dados los ideales J, K del anillo A, su suma J+K={ a+b: a∈J, b∈K} y el producto J.K= {a₁.b₁+a₂.b₂+...+ a_n.b_n: a_k ∈ J, b_k ∈ K} son también ideales del anillo. Dada una familia de ideales J_i (i ∈I) del anillo A, se define ∑ J_i (i ∈I) , como el ideal de todas ∑ a_i (i ∈I) para las familias ( a_i) en ∏J_i (i ∈I) tales que a_i=0, salvo para un numero finito de índices i ∈I.

Llamaremos Spect(A) (espectro del anillo A) a la familia formada por todos los ideales primos del anillo A. Dado un ideal J, definimos V(J)={P∈ Spect(A): P⊃J} . Se prueba sin dificultad que los V(J) cumplen con las siguientes propiedades :

(1) Spect(A)=V(0)

(2) ∅= V ( A)

(3) V ( J) U V ( K)=V ( J.K)

^{_{ANILLOS REGULARES VON NEUMANN}}

Un anillo conmutativo con identidad (A,+,.) se dice regular Von Neumann, si dado a∈R, existe b∈R, tal que a=a².b.

Un anillo conmutativo con identidad (A,+,.) es regular Von Neumann, si y sólo si, todo ideal principal de A es generado por un elemento idempotente.

Para ver el directo, sea J=A.a un ideal principal. Como existe a=a².b, luego J=A.(a².b)=A.( a.b ) y como (a.b)²=a².b²=(a.b).b=a.b, obtenemos la demostración en un sentido. Por otro lado, si J=A.a es un ideal principal, tal que existe un elemento idempotente a', tal que J=A.a=A.a' , entonces a=a'.b y a'=ab', por lo tanto a'=a'²=a².b´² , entonces a=a².(b´².b), lo que prueba que A es anillo regular Von Neumann.

Si A es un anillo regular Von Neumann, el nilradical del anillo R(A)=0 y todo ideal primo es máximal.

Si a∈R(A), existe un número natural n, tal que aⁿ=0, pero J=A.a=A.a' con a´ un elemente idempotente, se deduce por lo tanto que a'ⁿ=a'=0, de lo que se deduce que a=0. Veamos ahora que todo ideal primo es máximal. Si P es un ideal primo y a∉P, existe un b elemento idempotente, tal que J=A.a=A.b , se deduce que b∉P y como b.(1−b)=0, luego 1−b∈P, y por lo tanto A=A.b+P , lo que asegura que P es máximal.

Si A es un anillo regular Von Neumann el espacio topológico (Spect(A),τ_Z) es Hausdorff.

Sean P y Q dos ideales primos diferentes, ya sabemos que ambos son máximales, podemos considerar un elemento idempotente a∈P−Q, luego (1−a)∈Q. Como (1−a).a=0, obtenemos que
V(1−a)∪V(a)=Spect(A) y tomando complementos D(1−a)∩D(a)=∅, de lo que se deduce la prueba ya que P ∈D(1−a) y Q ∈ D(a).

La intención final de estas notas, es que nos preguntemos si para (Spect(A),τ_Z) Hausdorff con el nilradical del anillo R(A)=0, entonces el anillo A es regular Von Neumann, La respuesta es afirmativa, sin embargo es algo delicada y se escapa de la intención de estas notas que, era presentar un anillo conmutativo con identidad Hausdorff compacto. Sin embargo haremos un bosquejo de la prueba. Primero observemos que si las hipótesis de ser Hausdorff se cumple, todo ideal primo es máximal. En efecto considere ideales primos M, P con P⊂M, entonces existen abiertos elementales disjuntos D(a) y D(b) tales que M∈D(a) y P ∈D(b), luego a ∈ P⊂ M, lo que es contradictorio. Ahora consideremos el anillo localizado A_M . Sabemos que A_M es un anillo local con MA_M su único ideal máximal y por otro lado R(A_M)=R(A)_M =0. Esta prueba garantiza que, para cada M máximal el anillo localizado A_M es un cuerpo y es fácil ver que todo cuerpo es un anillo regular Vonn Neumann. Es conocido que si cada A_M es un anillo regular Von Neumman, entonces el anillo A es regular Von Neumann y termina la prueba. Los últimos detalles pueden se consultados en las referencias.

REFERENCIAS

Bourbaki. Algèbre Conmutative (Hermann)

Atiyah and Macdonald. Introduction to Commutative Algebra. (Addison—Wesley 1969)

J. T. Knhight. Commutative Algebra. (Cambridge at the University Press 1971)