Conceitos
O que é um polinômio?
Um polinômio é classificado como qualquer conjunto de números complexos e incógnitas,
mas não tendo necessariamente estas. Os termos que acompanham as incógnitas
são chamados de coeficientes, e o termo que não possui incógnitas é o termo independente.
A única regra é que as incógnitas devem ter como expoente apenas números naturais.
Assim, os exemplos a seguir são todos polinômios:
2x – 7
x² + x + 5
2ix³ – 7 + 3i
27
Porém, os exemplos a seguir não são:
2x²+ √x + 3
7/x³ + 2/x + 3
Grau de um polinômio
O grau de um polinômio é definido pelo maior expoente presente neste.
Assim, um polinômio pode ter grau zero, grau um, grau vinte e sete, e etc..
Alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus:
9 → polinômio de grau zero
x + 3 → polinômio de grau um
4x² + 2x + 7 → polinômio de grau dois
x⁵ - 1 → polinômio de grau cinco
4x⁴ + 2x²³ + 30 → polinômio de grau vinte e três
x⁴⁵ + 3x → polinômio de grau quarenta e cinco
Coeficiente dominante de um polinômio
É chamado de coeficiente dominante o coeficiente que acompanha o termo cujo qual possui o maior expoente.
5x² + 4x + 12 → o coeficiente dominante é 5
3x + x⁵ + 1 → o coeficiente dominante é 1
3x - 21 → o coeficiente dominante é 3
Conceito de polinômio nulo
Um polinômio nulo é um que não tem valor nenhum, ou seja, todos os coeficientes são igual a zero.
Assim, no polinômio a seguir, P(x): (a - 4)x² + (b + 2)x + (c - 1) ,
para que este seja um polinômio nulo, a tem que ser igual a 4, de modo a cancelar x² ,
b tem que ser igual a -2, de modo a cancelar x e
c deve ser igual a 1 para cancelar o termo independente.
Método de Briot-Ruffini
Divisão “armada” de Polinômios
Uma divisão "armada" de números costuma ser expressa deste modo:
A seguir, vamos dividir um polinômio por um monômio, com o intuito de entendermos o processo operatório.
Observe:
Assim, observamos que apesar de relativamente simples, este método é muito demorado. Felizmente, há outra forma muito mais fácil e rápida de resolver divisões em que o divisor é da forma x - a .
O Método de Briot-Ruffini
Para montar o dispositivo de Briot-Ruffini, colocamos a raiz de Q(x) à esquerda e os coeficientes de P(x) à direita, além de reescrever o primeiro coeficiente na linha de baixo. Esse número será multiplicado por u e somado com o segundo coeficiente. O resultado será colocado abaixo do segundo coeficiente como vemos na imagem acima. Em seguida, esse valor encontrado será multiplicado por u e somado com o terceiro coeficiente, e o resultado será colocado abaixo do terceiro coeficiente. Repetimos esse procedimento até que se acabem os coeficientes. O último valor encontrado será o resto da divisão. Os demais valores encontrados na linha inferior serão os coeficientes do polinômio encontrado, lembrando que o último desses valores sempre acompanhará variável cujo expoente é zero.
Vejamos como fazer a divisão de polinômios P(x) por Q(x) quando P(x) = 5x³ – 2x² + 3x – 1 e Q(x) = x – 2. Primeiramente, vamos verificar a raiz de Q(x):
Q(x) = 0
x – 2 = 0
x = 2
A divisão de P(x) = 3x⁴ + 5x³ – 11x² + 2x – 3 por Q(x) = x + 3
resulta no polinômio 3x³ – 4x² + x – 1, e o resto é 0.
Fonte Briot-Ruffini: http://www.mundoeducacao.com/matematica/dispositivo-pratico-briotruffini.htm “
Multiplicidade de Raízes
Teorema Fundamental da Álgebra
O Teorema Fundamental da Álgebra diz que “qualquer polinômio p(x) com coeficientes complexos de uma variável e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa.” Porém, com o passar do tempo, e graças ao Teorema da Decomposição, o Teorema Fundamental da Álgebra passou a ser:
“Qualquer polinômio p(x) com coeficientes complexos de uma variável e de grau n ≥ 1 tem exatamente n raízes complexas.”
Teorema da Decomposição
O teorema da decomposição de um polinômio garante que
“todo polinômio de grau n ≥ 1 pode ser decomposto em fatores de grau 1.”
Ou seja, podemos dizer que:
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/equacoes-algebricas/teorema-da-decomposicao.html#ixzz3oeLQZuDy”
Conceito de Multiplicidade de Raízes
Primeiramente, vamos usar de exemplo uma equação do segundo grau.
Para resolver uma equação como x² - 6x + 9 = 0 , utilizamos o Método de Bháskara:
Δ = 36 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0
Num caso como esse durante o Ensino Fundamental, em que o delta é igual a zero, temos apenas uma solução para a equação. Porém, a realidade é que temos sim duas soluções, mas estas duas são iguais. Ou seja, as duas soluções dessa equação são iguais a 3. Por isso, dizemos que 3 é raiz dupla da equação (ou raiz de multiplicidade 2) .
Podemos também escrever esta equação na forma decomposta, de acordo com o Teorema da Decomposição. Sabemos que a é igual a 1, e que as duas raízes são iguais a 3. Assim, a forma decomposta dessa equação é:
1 (x-3) (x-3) = 0 ou (x-3)² = 0
Relações de Girard
Equações do 2º grau
Equações do segundo grau, que podem ser traduzidas como trinômios da forma P(x) = ax² + bx + c , possuem duas raízes complexas, x1 e x2 . Girard descobriu duas relações importantes entre essas raízes, as fórmulas da soma e do produto entre elas:
(x1) + (x2) = – b/a
(x1 * x2) = c/a
Obs.: é importante lembrar que x1 e x2 podem ser iguais!
Equações do 3º grau
Do mesmo modo, é possível encontrar relações entre as raízes de uma equação de terceiro grau a partir da decomposição desta. E, como a equação passa a ser de terceiro e não de segundo grau, é escrita na forma P(x) = ax³ + bx² + cx + d , e possui três raízes complexas, x1 , x2 e x3 . Estas relações são:
(x1) + (x2) + (x3) = – b/a (A soma das raízes individualmente)
(x1 * x2) + (x1 * x3) + (x2 * x3) = c/a (A soma dos pares possíveis das raízes)
(x1 * x2 * x3) = – d/a (O produto das três raízes)
Equações do 4º grau
Por sua vez, uma equação do quarto grau pode ser escrita na forma polinomial P(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e , e possui quatro raízes complexas, x1 , x2 , x3 e x4 .
É possível que, após observar as relações anteriores, seja possível prever como serão as seguintes:
A primeira relação é a soma das raízes individualmente: (organizadas uma a uma)
(x1) + (x2) + (x3) + (x4) = – b/a
A segunda relação é a soma dos pares possíveis de raízes: (organizadas duas a duas)
(x1 * x2) + (x1 * x3) + (x1 * x4) + (x2 * x3) + (x2 * x4) + (x3 * x4) = c/a
A terceira relação é a soma dos trios possíveis de raízes: (organizadas três a três)
(x1 * x2 * x3) + (x1 * x2 * x4) + (x1 * x3 * x4) + (x2 * x3 * x4) = – d/a
A última relação é o produto das quatro raízes: (organizadas em quatro)
(x1 * x2 * x3 * x4) = e/a
Teorema das Raízes Complexas
No caso de o número complexo x + yi, sendo y ≠ 0, ser a raiz de uma equação polinomial, de coeficientes reais, o seu conjugado x – yi também será raiz.
E ainda, x + yi e x – yi também serão raízes de mesma multiplicidade.
Consequências:
Uma equação algébrica de coeficientes reais possui sempre ou um número par de raízes complexas não reais, ou não possui raízes complexas não reais.
Qualquer equação algébrica de coeficientes reais e grau ímpar, sempre terá pelo menos uma raiz real.
Equação do 2º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou duas raízes complexas conjugadas (não reais);
Equação do 3º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais ou uma real e duas complexas conjugadas (não reais);
Equação do 4º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais, ou duas raízes complexas conjugadas (não reais) e as outras reais ou apenas raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas;
Equação do 5º grau, de coeficientes reais ⇒ possui apenas raízes reais, ou duas raízes complexas conjugadas e as outras reais, ou pelo menos uma raiz real e as outras raízes complexas (não reais), duas a duas conjugadas. E assim sucessivamente;
Considere x + yi, sendo y ≠ 0, como a raiz da equação F(x) = 0, e x – yi não é a raiz dessa equação, nesse caso pelo menos um dos coeficientes de F não será real.
Fonte: http://www.colegioweb.com.br/equacoes-algebricas/raizes-complexas.html#ixzz3oUKptDP3