CONJUNTOS TOTALMEMTE NO ORDENADOS Y CADENAS
Se dice que A ⊂ L es un subconjunto totalmente no ordenado, si dados a, b ∈ A con a ~ b; entonces a=b. Es decir dos elemento cualesquiera de A, nunca son comparables.
Se dice que C ⊂ L es una cadena, si dados a, b ∈ A con a≠ b ; entonces a ~ b, o b~ a. Es decir dos elemento cualesquiera de C, siempre son comparables. Si una cadena C ⊂ L es finita, entonces podemos escribir C={a 1,....,a n} con a 1~a 2~...~a n. Diremos que n es la longitud de la cadena y escribimos μ (A)=n.
Vamos a estudiar dos importantes propiedades sobre este tipo de subconjuntos en conjuntos parcialmente ordenados.
(1) Sea (L,~) un conjunto parcialmente ordenado finito. Si el cardinal de cualquier subconjunto A totalmente no ordenado es menor o igual que n, entonces existen cadenas diferentes C1,...,Cn en L, tales que son máximales con respecto a la inclusión y L= C1∪ ....∪ Cn
En efecto, si |L|=n, entonces L es totalmente no ordenado y definimos
Ci={ i} (i=1,2,...,n)
Es claro que cada Ci={ i} es cadena máximal.
Supongamos que n< |L|. Existe por lo tanto un subconjunto A de L, con A totalmente no ordenado y |A|=n.
Sea W={ a∈ A: existe una cadena C de L, tal que a∈ C y C—A≠ ∅} . Vamos a demostrar que W es no vacío. En efecto, existe un b ∈ L—A. Es claro que A ∪ { b} no puede ser un subconjunto de L totalmente no ordenado. Esto dice que existe un a∈ A con a ~ b, o b~ a. Si definimos C= { a, b} es una cadena con a ∈ A y C—A≠ ∅.
Para a∈W, considere la familia
Fa={ C es una cadena en L: a ∈C y C—A≠ ∅ }.
Es claro que esta familia es no vacía. Si ordenamos Fa con la relación de inclusión conjuntista y F es una cadena en Fa con respecto a la inclusión, entonces es directo ver que ∪C∈Fa=H es una cadena en L con H—A≠ ∅. Por lo tanto existe un elemento Ca y máximal con respecto a la inclusión
en la familia Fa.
Como L=∪a∈A—W{ a}∪ ∪a∈W Ca. Es claro que por definición de W, cada { a} con a∈A—W es una cadena máximal y si a, c ∈ W con a ≠ c , entonces a ∉ Cc, luego el resultado se sigue.
(2) Sea (L,~) un conjunto parcialmente ordenado. Si cualquier C cadena de L es finita con longitud μ (C)≤n, entonces existen subconjuntos totalmente no ordenados Li (i=1,2,...,n), tales que L= L1∪ ....∪ Ln, con Li–Lj ≠ ∅ para todo i ≠j .
Haremos la prueba usando inducción en n. Si (L,~) un conjunto parcialmente ordenado y n=1, entonces L es totalmente no ordenado. Vale por lo tanto el resultado
Supongamos que para (L,~) un conjunto parcialmente ordenado y n un número natural, el resultado es cierto.
Sea ahora (L,~) parcialmente ordenado, tal que si C es una cadena en L, entonces μ (C)≤n+1.
Existe por lo tanto una cadena C={a 1,....,a n+1}, tal que a 1~a 2~...~a n+1.
Sea W={a∈L: a es el último elemento de una cadena de longitud n+1}.
Es claro que W es no vacío y si consideramos (L–W,~), por definición de W, toda cadena C en L–W es de longitud menor o igual que n. Por hipótesis inductiva existen subconjuntos totalmente no ordenados Li (i=1,2,...,n), tales que L–W= L1∪ ....∪ Ln con Lj–Li≠ ∅ para todo i ≠j . Se deduce que L=L1∪ ....∪ Ln∪W y como W es totalmente no ordenado se deduce el resultado.
Ahora consideremos un conjunto parcialmente ordenado (L,~ ) y A un subconjunto de L. Se dice que un elemento b de L es una cota superior de A, si dado a∈ A, entonces a~b (o a=b). Se dice que b es el supremo del conjunto A y escribimos sup(A)=b, si dada otra cota superior b´ de A, entonces b~b´ (o b=b´). Es claro que, si el supremo de A existe, es único. De forma similiar se define la cota inferior de un conjunto A y el ínfimo del conjunto A (ínf(A)). Se dice que (L,~ ) es un retículo, si dados dos elementos cualesquiera x,y ∈ L, existe ínf{ x, y}= x ∧y , sup{ x, y}=x∨y.
Dado un conjunto parcialmente ordenado (L,~ ) y A un subconjunto de L, diremos que A es cofinal, si dado un x ∈ K, existe y∈ A, tal que x ~ y (o x=y).
Supongamos que W es un conjunto infinito no contable y L={ A⊂ W: A es finito}. Si ordenamos L con la inclusión, es claro que (L,⊂) es parcialmente ordenado. Veamos que ninguna cadena en L es cofinal. En efecto, sea C una cadena en L. Como ∪A∈C A=H es numerable, existe un subconjunto finito B⊂ W−H, esto garantiza que la cadena C no es cofinal.
Finalmente veamos que si un retículo (L,~ ) es numerable, entonces existen cadenas cofinales. En efecto, supongamos que x1, x2,..., xn,...; es una enumeración del retículo L. Considere la cadena C dada por los elementos y1=x1, y2=y1∨x2, y3=y2∨x3 y en general yn+1=yn∨xn+1. Es claro que esta cadena es cofinal.