TOPOLOGÍAS IRREDUCIBLES
(1) X, ∅ ∈ τ
(2) Si A, B ∈ τ , entonces A ∩B∈ τ .
(3) Si Ai∈ τ con i∈I (I una familia de índices), entonces U Ai ∈ τ
Cada A∈ τ se le llama un abierto y a su complemento X−A un cerrado de la topología τ.
Damos nuestra primera definición importante:
Un espacio topológico (X, τ) es irreducible, si dados dos cerrados A y B en X, con X=A U B, entonces X=A, o X=B.
La siguiente es una caracterización de los espacios topológicos irreducibles:
Sea (X, τ) un espacio topológico, son equivalentes:
(1) X es irreducible (2) Dados dos abiertos no vacíos A y B en X, entonces A ∩B ≠ ∅ (3) Dado un abierto no vacío A en X. entonces su clausura topológica A −=X
Supongamos que (1) es cierto y sean A y B abiertos no vacíos. Si A ∩B = ∅, entonces X−A U X −B =X, es decir X=X−A, de lo que se deduce que A= ∅, lo que es contradictorio, de esta manera se deduce (2).
Supongamos que (2) es cierto y A es un abierto no vacío de X. Si X−A −≠ ∅, luego(X−A −)∩A= ∅, lo que es contradictorio. Esto asegura que vales (3).
Sea (3) cierto y X=Y 1 U Y 2, unión de dos cerrados. Si X −Y 1≠ ∅ y X −Y 2≠ ∅ , luego por hipótesis (X −Y 1)∩( X −Y 1)≠ ∅. lo que es contradictorio. Se sigue luego (1).
Recuerde que si Y es un subespacio, luego (Y, τ|Y) es el espacio topológico relativo, donde los abiertos de Y son de la forma A∩Y con A∈ τ. Se dice que el subespacio Y es irreducible, si (Y, τ|Y) es irreducible. Vale el siguiente resultado:
Si Y es irreducible. entonces Y− es irreducible.
En efecto, sea A un abierto de X con A∩ Y−≠∅, luego A∩ Y≠∅. Como ∅≠ A∩Y⊂A∩Y− , se deduce el resultado.
Un subespacio Y de X que es irreducible máximal es claramente cerrado y se le llama una componente de X.
Veamos que si Y es irreducible en X, entonces existe un Y^ irreducible máximal que lo contiene.
En efecto, se Y un subespacio irreducible y consideremos la familia F de los subespacios irreducibles que lo contienen y ordenados parcialmente por la inclusión. Si C es una cadena en F, sea W=U Yi con Yi ∈ C. Veamos que es un subespacio irreducible. Sean A y B abiertos no vacíos en X, con A∩ W y B∩ W ambos no vacíos, entonces existen Yi1 y Yi2 en C, tales que A∩Yi1 y B∩Yi2 son ambos no vacíos y como, por ejemplo, Yi1 ⊂ Yi2, entonces ∅≠ A∩B∩Yi1 ⊂ A∩B∩Yi2, o que prueba que W es irreducible, Usando el lema de Zorn existe Y^ irreducible máximal en F.
Si consideremos en un espacio topológico X, los subespacios de la forma Yx={ x} (para cada x∈X) que son claramente subespacios irreducibles, por lo anterior existen componentes Y^x con x ∈Y^x, esto demuestra que X es unión de sus componentes .
Ahora consideremos un espacio topológico (X, τ) de Hausdorff. Si Y es un subespacio irreducible, debe ser un solo punto. En efecto, si existen dos puntos distintos x,y ∈Y, existen dos abiertos disjuntos A y B, tales que x∈A , y∈B, pero A∩B∩Y=∅, lo que es contradictorio. Se deduce lo afirmado.
Finalmente, estudiemos una aplicación a la topología de Zariski de un anillo R conmutativo con identidad. Veamos que Y es un cerrado irreducible del espectro de R, si y sólo si, es de la forma V(P)={ Q∈Spect(R): P ⊂ Q} con P un ideal primo. Supongamos que P es ideal primo, luego si V(P)=V(J1)U V(J2) con J1 y J2 ideales, entonces V(P)=V(J1.J2), de lo que se deduce que J1.J2 ⊂ P, entonces J1 ⊂ P, o J2 ⊂ P, lo que dice que V(P)=V(J1), o V(P)=V(J2). Esto prueba el recíproco. Recíprocamente, si V(J) es cerrado irreducible con J un ideal, veamos que existe un ideal primo P, tal que V(J)=V(P). Es claro que V(J)=V(∩{ Q∈Spect(R): J ⊂ Q} ), Veamos que ∩{ Q∈Spect(R): J ⊂ Q} =√ J es un ideal primo. De lo contrario existe a, b∉ √ J, tales que a.b ∈√ J. Es claro que V(J)⊂V(a.b)=V(a) UV(b). Es decir V(J)=V(J)∩V(a) U V(J)∩V(b) y por ser V(J) cerrado irreducible, se deduce que , por ejemplo, V(J)=V(J)∩V(a) ⊂ V(a), de lo que se deduce que a ∈√ J, lo que es contradictorio. Es fácil ver que las componentes del espectro del anillo R, son los cerrados de la forma V(P) con P primo minimal en el espectro.