Recordemos que un módulo M sobre A, donde A es un anillo conmutativo con identidad, es plano, si dado un ideal I finitamente generado del anillo A; entonces I ⊗ M ≅ I ∙ M (isomorfismo dado por la correspondencia r ⊗ m → r ∙ m).
Un anillo conmutativo con identidad A , se dice absolutamente plano, si cada módulo M sobre A es plano.
El siguiente teorema da un importante resultado sobre módulos planos y realmente define todo en esta nota:
Teorema. Da una sucesión exacta de módulos sobre A :
donde i(x) = x ∀ x ∈ K y π es un epimorfismo de A - módulos, con F un módulo plano; entonces M es plano, si y sólo si, para cada ideal I finitamente generado del anillo A: I ∙ F ∩ K = I. K .
Demostración. Es claro que
es exacta y como F es plano
Veamos que
Es claramente un epimorfismo. Si r ⊗π(f) = 0 , entonces r ⊗ f ∈ Ker(1 ⊗ π) y por lo tanto r ⊗ f =r1⊗ k1 + ⋯ + rn ⊗ kn , ki∈ K. De lo que se deduce que r ∙ f=r1⊗ k1 + ⋯ + rn ⊗ kn , ki ∈ IK . Esto prueba que es un monomorfismo y por lo tanto isomorfismo.
Vamos ahora a demostrar que
Veamos que está bien definida. Supongamos que π(f) = π(f´), luego b ∙ (f − f´) ∈ Ker(π) = K y por lo tanto b ∙ (f − f´) ∈ I ∙ F ∩ K, lo que dice que está bien definida. Es trabajo de rutina ver que es un isomorfismo.
Consideremos la sucesión exacta
Si definimos θ(r ∙ f + 𝐼) = r ∙ f+ 𝐼 ∩ K, es directo ver que θ es un isomorfismo, si y sólo si, A: I ∙ F ∩ K = I. K , si y sólo si, M es plano.
Obtenemos el siguiente útil corolario:
Corolario. Sea A un anillo conmutativo con identidad, tal que cada ideal finitamente generado I de A es principal. Si F/ K≅ M con un módulo libre, entonces M es plano, si y sólo si, r ∙ F ∩ K = r ∙ K
Demostración. Considere I = A ∙ r y aplique el resultado anterior.
Un anillo A conmutativo con identidad es regular Von Newmann, si dado r ∈ A, existe b∈ A tal que r = r2∙ b.
El siguiente es nuestro más importante resultado.
Corolario. Un anillo A conmutativo con identidad es absolutamente plano, si y sólo si, A es regular Von Newmann.
Demostración. Supongamos que A es absolutamente plano y a ∈ A . Consideremos el ideal I = A ∙ a = (a ). Es exacta la sucesión
Por el teorema anterior, como R/(a) es absolutamente plano, entonces (a).R ∩ (a) = (a) =(a)2 de lo que se deduce que a = b.a2. Es decir A es regular Von Newmann.
Para ver el recíproco, considere un ideal finitamente generado I de A . Veamos que por ser A regular Von Newmann, I es un ideal principal. Sea primeramente I=(a,b) en el que podemos suponer que a2=a y b2=b, luego (a.b)=(a+b+a.b) . En general la prueba se sigue por inducción. Ahora sea exacta
donde i(x) = x ∀ x ∈ K y π es un epimorfismo de A - módulos, con F un módulo plano. Sea I=(a)=(a)2. Como a ∙ F ∩ K =a2F ∩ K =a ∙ F ∩ a ∙ K ⊂ a ∙ K , se deduce del teorema anterior que M es plano.
Finalizamos con el siguiente resultado:
Corolario. Son equivalentes: (1) A es absolutamente plano (2) Cada ideal I finitamente generado de A es principal (3) Cada ideal I finitamente generado de A es complementado.
Demostración. Solamente demostraremos que (3) implica a (1), ya que las otras implicaciones ya están prácticamente estudiadas en las anteriores demostraciones. Consideremos un a ∈ A, , luego existe un ideal J de A , tal que A = (a) ⊕J. Como 1 = r ∙ a ⊕ b, entonces a = r ∙ a2 ⊕a. b , se deduce que a ∙ b = 0 (es decir todo elemento a de A es un divisor de cero) y a = r ∙ a2, lo que prueba el resultado.