CON EL LEMA DE NAKAYAMA
Asumimos que M es un módulo finitamente generado sobre un anillo A conmutativo con unidad.
El siguiente resultado, de una simplicidad asombrosa, determina todo de lo que se quiere demostrar.
Teorema 1. Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si f:M→M es un endomorfismo de módulos, tal que f(M) ⊂ αM, entonces existe un polinomio mónico F(X)∈ α[ X], tal que F(f)=0.
Demostración. Sea M=Ax1+...+Axn para ciertos xi∈M (i=1,2,...,n), tenemos:
f(xi)=ai1x1+...+ainxn (aij∈ α, i=1,2,...,n)
De lo anterior deducimos que
(δi1f−ai1I)(x1)+....+(δinf−ainI)(xn)=0.
Si denotamos por R={ F(f): F∈A [ X]} ⊂ End(M) (los morfismos de M en sí mismo), luego
H=(δijf−aijI)∈Mn×n(R) y si denotamos por H* su matriz adjunta, entonces H H*=det(H)I, de lo que se deduce que det(H)xi=0, para todo i. Esto demuestra que det(H)=fn+a1fn−1+....+anI con cada ai∈ α. Se deduce la prueba.∎
Veamos algunas puntualidades del resultado anterior:
Supongamos que fn+a1fn−1+....+an I=0 (ai∈ α).
Despejando queda: an I= −fn−a1fn−1−....−an−1f .
Deducimos que an M ⊂ T(M).
Si f es inyectiva, podemos hallar una expresión fn+a1fn−1+....+an I=0 con ai∈ α y an ≠0.
Supongamos ahora que f(m)=am , Para todo m ∈ M con a∈α; luego (fn+a1fn−1+....+an I)(m)=(an+a1an−1+....+an )(m)=0, es decir (an+a1an−1+....+an)∈An(M).
Corolario 1. Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si f:M→M es un endomorfismo de módulos, tal que f(M) = αM, entonces existe un para ciertos x≡1(mod α) tal que xM=0.
Demostración. Si f=I, luego (1+a1+....+an)M=0 y por lo tanto x=1+a1+....+an cumple lo pedido.∎
Antes de demostrar el resultado principal, recordemos que si A es un anillo conmutativo con identidad, el radical de Jacobson 𝒎 es la intersección de todos sus ideales máximales. Un x ∈𝒎, si y sólo si, 1 −xy es una unidad, para todo y ∈A.
Teorema 2 (Lema de Nakayama). Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A. Si M= αM con α un ideal de A contenido en el radical de Jacobson, entonces M=0.
Demostración. Por el corolario 1, existe x−1 ∈ α ⊂ 𝒎 , luego 1 −(x−1)=−x es una unidad del anillo A y al ser xM=0, deducimos que M=0.∎
Se obtiene el siguiente corolario:
Teorema 3 . Sea M un A-módulo finitamente generado sobre A, y α un ideal de A contenido en el radical de Jacobson. Si M= αM+N para algún submódulo N de M, entonces M=N.
Demostración. Si M= αM+N, entonces M/N=αM/N y como M/N es finitamente generado sobre A y α ⊂ 𝒎, se deduce que M/N=0. Es decir M=N.∎
Si (A, 𝒎) es un anillo local, es decir 𝒎 es el único ideal máximal y por lo tanto el radical de Jacobson del anillo, podemos considerar el cuerpo residual k=A/𝒎 y definir en M/𝒎M, la estructura de k-espacio vectorial:
(a+𝒎)(m+𝒎M)=am+𝒎M, la que está perfectamente bien definida. Vale el siguiente importante resultado:
Teorema 4 . Sean m1,....,mn en M, tales que las clases m1+𝒎M,....,mn+𝒎M forma una base de M/𝒎M, entonces m1,....,mn generan al módulo M.
Demostración Sea N=Am1+....+Amn. Si m∈M, entonces m+𝒎M=(a1+𝒎)(m1+𝒎M)+...+(an+𝒎)(mn+𝒎M). de lo que se deduce que m−a1m1−anmn∈𝒎M. Es decir M=N+𝒎M y por Nakayama, M=Am1+....+Amn.∎
Terminamos demostrando este resultado (una aplicación del lema de Nakayama), que no es más que un ejercicio del capítulo 2 de de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.
Teorema 4. Sean M y N módulos finitamente generados sobre un anillo local (A, 𝒎), tales que su producto tensorial M⊗AN=0, entonces N=0, o M=0.
Demostración. Note que k⊗AM≅M/𝒎M y análogamente k⊗AN≅N/𝒎N. Como (k⊗AM)⊗k(k⊗AN)=(k⊗AM)⊗kk)⊗AN=(k⊗AM)⊗AN=k⊗A(M⊗AN)=0, deducimos que k⊗AM=0, o k⊗AN=0. Es decir M/𝒎M =0, o N/𝒎N=0 y usando el lema de Nakayama se deduce que M=0, 0 N=0. ∎