EJERCICIOS RESUELTOS DE TOPOLOGÍAS DÉBILES
X será un espacio normado real o complejo, Si {xn} es una sucesión en X, y x0∈X, diremos que xn→x0 débilmente, si para cada funcional lineal continua f sobre X, f(xn)→f(x0). Los siguientes ejercicios envuelven este importante concepto. Suponemos al lector familiarizado con los elementos básicos del Análisis Funcional, la referencia citada es de gran ayuda.
(1) Sea C[a,b] el espacio de las funciones continuas a valores reales con norma del supremo. Si {xn} es una sucesión en C[a,b] y x0∈C[a,b] , pruebe que si xn→x0 débilmente, entonces la convergencia también es puntual.
Solución. Fijemos t∈[a,b] y definamos el funcional lineal continuo ft mediante ft(x)=x(t), ∀ x∈C[a,b]. Se tiene que ft(xn)→ft(x0), es decir xn(t) →x0(t), que es lo que se quería demostrar.
(2) Sean X, Y espacios normados sobre los complejos y T:X→Y un operador acotado. Si {xn} es una sucesión en X y x0∈X tal que xn→x0 débilmente, entonces T(xn)→T(x0) débilmente.
Solución. Sea g:Y→C un funcional lineal continuo, luego g ∘T:X→C es un funcional lineal continuo en X y por lo tanto g(T(xn))→g(T(x0)), lo que prueba lo pedido.
(3) Si {xn} y {yn}son sucesiones en un espacio normado X , tales que xn→x0 débilmente y yn→y0 débilmente , entonces xn+yn→x0+ y0 débilmente. De igual forma, si α es un escalar, luego αxn→αx0 débilmente.
Solución. Sea f:X→C una funcional lineal continuo, luego f(xn+yn)=f(xn)+f(yn)→f(x0)+ f(y0)=f(x0+y0). Por otro lado f(αxn)=αf(xn)→αf(x0)=f(αx0). Se prueba lo afirmado.
(4) Demostrar que si xn→x0 débilmente, entonces ||x0||≤lim—||xn|| (límite inferior de ||xn|| )
Solución.
Por el teorema de Hahn-Banach, existe un funcional unitario f, tal que f(x0)=||x0||, Como f(xn)→f(x0), deducimos que, para ε >0, existe un natural n0, tal que |f(xn)−f(x0)| ≤ε, ∀ n≥n0. Es decir |f(x0)|= ||x0||≤|f(xn)|+ε≤||f||||xn||+ε=||xn||+ε, ∀ n≥n0. Esto dice que ||x0||≤inf(||xn||: n≥n0)+ε ≤lim—||xn||+ε y como ε es arbitrario, se deduce lo afirmado.
(5) Si xn→x0 débilmente y consideramos Y=[xn: n≥1 ] (subespacio lineal generado por los xn) y Y— su clausura en la topología de la norma, entonces x0∈Y—,
Solución. Supongamos que x0∉Y— y sea δ={ ||y−x0: y∈Y—}. Una consecuencia del teorema de Hahn-Banach es que existe un funcional continuo unitario f, tal que f(x0)= δ y f(y)=0, para todo y∈Y—. Como f(xn)=0→f(x0)=δ, nos dice que δ=0, lo que es contradictorio, Esto prueba lo afirmado.
(6) Si xn→x0 débilmente, entonces existe yn=Σk=1rnαnkxnk , tal que yn→x0 en la norma.
Solución. Es una aplicación inmediata del ejercicio 5.
(7) Sea X un espacio normado y M un subespacio cerrado de X. Si xn ∈M y xn→x0 débilmente, entonces x0∈M.
Solución. Es una aplicación inmediata del ejercicio 6.
(8) (Sucesiones débiles de Cauchy) Sea X un espacio normado real o complejo y {xn} una sucesión en X. Se dice que es débilmente de Cauchy, si para cada funcional lineal continuo f sobre X, la sucesión {f(xn)} es de Cauchy. Demostrar que toda sucesión de Cauchy es acotada.
Solución. Sea {xn} una sucesión débilmente de Cauchy, Para cada n definamos Tn(f)=f(xn) para toda funcional lineal continua f sobre X. Como |Tn(f)|=|f(xn)|≤||f||||xn||, se deduce que ||Tn||≤||xn||. Por otro lado, por el teorema de Hahn-Banach, existe un funcional lineal continuo f sobre X, tal que ||f|||=1 y f( xn)=||xn||. Obtenemos que |Tn(f)|=|f(xn)|=||xn||. Es decir los Tn son funcionales lineales continuos sobre el dual X*. Tenemos que {f(xn)} es convergente y por lo tanto acotada por un α >0. Se deduce por lo tanto que, si f es un un funcional lineal continuo sobre X fijo, entonces |Tn(f)|≤||f||α.
para todo n. Usando el principio de acotación uniforme, deducimos que existe un β>0, tal que ||Tn||=||xn||≤β para todo n. Esto demuestra lo pedido.
(9) Si A es un subconjunto de un espacio normado X, tal que si dado B⊆ A, existe una sucesión {xn}⊆ B que es débilmente de Cauchy, entonces A es acotado.
Solución.Supongamos que A no es acotado, existe por lo tanto una sucesión xn infinita, tal que ||xn||→∞. Existe luego una subsucesión xnk que es débilmente de Cauchy. Por el ejercicio 8 resulta acotada, lo que una contradicción. Esto demuestra el resultado.
(10)(Espacios débilmente completos), Un espacio normado X se dice que es débilmente completo, si toda sucesión débil de Cauchy converge débilmente en X. Demuestre que si X es normado reflexivo, entonces es débilmente completo.
Solución. Sea {xn} una sucesión débilmente de Cauchy. Sabemos que existe α >0, tal que ||xn||≤α para todo n. Esto dice que xn∈αBX, donde BX es la bola unitaria cerrada y por ser X reflexivo αBX es débilmente compacto. Existe por lo tanto un subsucesión xnk→x débilmente, con x∈αBX . Hay que demostrar que xn→x débilmente. Como f(xn)→γ y f(xnk)→f(x ), se deduce que f(x)=γ, Se deduce el resultado.
Nota Las soluciones son a los ejercicios propuestos en la sección 4.8 del libro Introductory Functional Analysis with Applications de Erwin Kreyszig.