Si P es un ideal primo del anillo R, se define su altura, como el número alt(P)=dim(RP).
Se prueba que dim(R)=sup{alt(P): P ∈ Spect(R)}|.
Demostración. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que A es un dominio local con P su único ideal máximal. Si el resultado no es cierto, existe un ideal primo Q, tal que 0 ⊊ 𝑄 ⊊P . Como x ∉ Q , existe 𝑦 ∈ 𝑄 (𝑦 ≠ 0 , y ≠x). Definamos los ideales I k=((𝑦): 𝑥k)= {𝑡 ∈ 𝑅: 𝑡 ∙ 𝑥k ∈ (𝑦)=𝑅y}. Es claro que esta es una cadena ascendente de ideales y por lo tanto es estacionaria. Es decir existe 𝑛, tal que I k=I n ∀ 𝑘 ≥ 𝑛.
Sea 𝜑: ((𝑦): 𝑥k) →( (𝑥k): 𝑦) por 𝜑(𝑎) = 𝑡 con 𝑎 ∙ 𝑥k = 𝑡 ∙ y. Usando que estamos en un dominio, es directo ver que 𝜑 es un isomorfismo de 𝑅 − 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜𝑠. A partir del isomorfismo 𝜑, definamos 𝜑̃: ((𝑦): 𝑥k)/(y) → ( (𝑥k): 𝑦)/(𝑥k) por 𝜑̃(𝑎 + (𝑦)) = 𝜑(𝑎) + ( 𝑥k). Es directo ver que es un isomorfismo.
Como sop(R/(𝑥k))=𝑉((𝑥k)) = {𝑃} con 𝑃 máximal, deducimos que R/(𝑥k)es un 𝑅 −módulo de longitud finita.
Sea el morfismo de multiplicación 𝜑y:R/(𝑥k) → R/(𝑥k), dado por 𝜑y(r+(𝑥k))= 𝑟 ∙ y+(𝑥k). Si 𝜑y(r+(𝑥k))=0, luego 𝑟 ∙ 𝑦 ∈(𝑥k), esto dice que 𝑟 ∈ ((𝑥k): 𝑦). Realmente Ker𝜑y=((𝑥k): 𝑦)/(𝑥k) es de longitud finita. Tenemos que ( R/(𝑥k))/(((𝑥k): 𝑦)/(𝑥k))≅𝜑y(R/(𝑥k)), luego
Por otra parte
es exacta, luego
deducimos
Como ( R/(𝑥k))/(𝜑y(R/(𝑥k)) )≅ R/(xk,y) concluimos que
long ( R/(𝑥k))/(𝜑y(R/(𝑥k)) =long( (𝑥k): 𝑦)/(𝑥k) =long R/(xk,y), ∀ 𝑘 ≥ 𝑛.
Finalmente R/(xk,y)≅(R/(xk+1,y))/((xk,y)/(xk+1,y)) y por lo tanto
long(R/(xk+1,y))=long(R/(xk,y))+long((xk,y)/(xk+1,y))
es decir long((xk,y)/(xk+1,y))=0. Esto dice que (xk+1,y)=(xk,y), luego xk=axk+1+by, entonces xk(1 − 𝑎𝑥) = 𝑏𝑦 y como 1 − 𝑎𝑥 es una unidad, se deduce que xk∈ (𝑦) ⊂Q, lo que contradictorio.
Para demostrar la segunda parte, note que si 𝑎𝑙𝑡(𝑃) = 0, entonces 𝑃 es un
ideal primo minimal del anillo y por lo tanto 𝑃 ⊂ 𝑍(𝑅), es decir 𝑥 es un divisor de cero, lo que es contradictorio.∎
Proposición 2. Sea 𝑹 un anillo conmutativo con identidad 𝑵𝒐𝒆𝒕𝒉𝒆𝒓𝒊𝒂𝒏𝒐 y ai ∈ 𝑹, ai ≠ 𝟎, ∀ 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 elementos no invertibles. Si 𝑷 es un ideal primo minimal sobre 𝑰 = (a1, … , an), entonces 𝒂𝒍𝒕(𝑷) ≤ 𝒏. Pruebe además que si a1, … , an es una sucesión regular, entonces 𝒂𝒍𝒕(𝑷) = 𝒏.
Demostración. Suponemos sin pérdida de generalidad que (𝑅, 𝑃)es anillo local. El resultado es cierto para 𝑛 = 1. Supondremos que es cierto para 𝑛 − 1. Si es falso para 𝑛, existe una sucesión decreciente 𝑃 = 𝑃0 ⊋ 𝑃1 ⊋ ⋯ . ⊋ Pn+1 de ideales primos, donde podremos suponer (usando notherianidad) que no existe 𝐼0 un ideal primo con 𝑃 ⊋ 𝐼0 ⊋ 𝑃1. Como 𝑃 es minimal sobre 𝐼, existe, por ejemplo 𝑎1 ∉ 𝑃1. Consideremos el ideal (𝑎1, 𝑃1). Es claro, por la elección de 𝑃1 , que 𝑃 es minimal sobre (𝑎1, 𝑃1). Sea el anillo R/(𝑎1, 𝑃1). cuyo espectro sólo tiene al ideal primo P/(𝑎1, 𝑃1), por lo tanto √0 =P/(𝑎1, 𝑃1); luego existe un un entero no negativo t tal que ( P/(𝑎1)t=0. Se deduce que 𝑎i t= 𝑟𝑎1 + 𝑏i (𝑏i ∈ 𝑃1, 𝑖 =2,3, … , 𝑛). Sea el ideal (𝑏2, … , 𝑏n), por hipótesis inductiva deducimos que 𝑃 no puede ser minimal sobre (𝑏2, … , 𝑏n). Entonces existe un ideal primo 𝑄 tal que (𝑏2, … , 𝑏n)⊂ 𝑄 ⊊ 𝑃. Sea el ideal 𝐽 = (𝑎1, 𝑄). Si existe un ideal primo 𝐼0 con 𝐽 ⊂ 𝐼0, entonces 𝐼 ⊂ 𝐼0 ⊂ 𝑃 ⟹ 𝑃 = 𝐼0. Sea el dominio R/Q. Probemos que P*=P/Q es un primo minimal sobre ( a1* ) ( a1* =a1+P)· Si 𝐼0*= 𝐼0/Q es un primo minimal sobre ( a1* ) deducimos que 𝐽 ⊂𝐼0, entonces 𝐼0=P. Por hipótesis inductiva 𝑎𝑙𝑡(𝑃*)≤ 1. Por otro lado (0) ⊊ 𝑃1*⊊ 𝑃*, lo que es contradictorio.
Para demostrar la segunda parte, supongamos que a1, … , an es una sucesión regular, es decir ai∉ Z(R/(a1, … , ai−1)), y 𝑃 es un primo minimal sobre (a1, … , an). Como 𝑃 ⊃ (a1, … , a𝑛−1), 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 𝑛 − 1 y como P no puede ser minimal sobre (a1, … , a𝑛−1) ya que an∉ Z(R/(a1, … , an−1)), se deduce que alt(P) > 𝑛−1 y por lo tanto el resultado.∎
Sea (𝑹, 𝒎) un anillo local 𝑵𝒐𝒆𝒕𝒉𝒆𝒓𝒊𝒂𝒏𝒐, luego 𝒎=(a1, … , a𝑛) y alt(𝒎)≤ 𝒏 por el resultado anterior, sabemos que sop(R/(a1, … , an))=V((a1, … , an))=𝒎, Lo anterior dice que la familia F={𝒓: 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒙1, … . , 𝒙r 𝒄𝒐𝒏 𝒙i ∈ 𝒎, sop(R/(x1, … , xn))= {𝒎}} es no vacía. Denotamos por d=d(R)=inf(F) y si sop(R/(x1, … , xd))= {𝒎}, diremos que x1, … , xd es un sistema de parámetro para R.
Proposición 3. d(R)=dim(R)
Demostración. Si 𝑑(𝑅) = 0, dice que 𝑠𝑜𝑝(𝑅) = 𝑉(𝐴𝑛𝑛𝑅) = 𝑉(0) = {𝑚}. Esto dice
que 𝑚 es minimal y por lo tanto 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑎𝑙𝑡(𝑚) = 0. Si 𝑑(𝑅) ≥ 1, existe 𝑥1, … , 𝑥𝑑(𝑅) un sistema de parámetros para 𝑅, y por lo tanto 𝑎𝑙𝑡(𝑚) =𝑑𝑖𝑚(𝑅) ≤ 𝑑(𝑅).
Sea 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑛 ≥ 1. Si existe un sistema de parámetro { 𝑥1} para 𝑅, luego 𝑎𝑙𝑡(𝑚) = 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 1 (de lo contrario 𝑚 es primo minimal), lo que resolvería lo afirmado. Por lo tanto 𝑑(𝑅)>1. En este caso 𝑚 ⊄ 𝑍(𝑅)(de lo contrario 𝑚 es un primo minimal). Existe un 𝑥1 ∈ 𝑚, elemento regular y por lo tanto para todo primo minimal 𝑃 sobre (𝑥1) 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥1 . Supongamos que para 𝑖, hemos hallado inductivamente una sucesión 𝑥1, … , 𝑥i en 𝑚, tales que 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 𝑖, ∀ 𝑃 primo minimal sobre (𝑥1, … , 𝑥i) (𝑖 ≤ 𝑛). Si i=n, entonces sop(R/(x1, … , xn))= {𝒎} , de lo contrario alt(m) > n, lo que es contradictorio. Es decir x1, … , xn es un sistema de parámetros para 𝑅. Esto diría que 𝑑(𝑅) = 𝑑𝑖𝑚(𝑅). Sea i < n y 𝑃1, ⋯ , 𝑃s los primos minimales sobre (x1, … , xi). Es claro que 𝑚 ⊄ 𝑃1 ∪ ⋯ ∪ 𝑃s . Existe 𝑥i+1 ∈ 𝑚 − (𝑃1 ∪ ⋯ ∪ 𝑃s). Sea 𝑃 un primo minimal sobre (x1, … ,xi, xi+1). Es claro que P no puede ser minimal sobre (x1, … , xi), es decir existe un 𝑃j minimal sobre (x1, … , xi) contenido estrictamente en P. Se deduce que alt(P)=i+1. Por un procedimiento similar al caso anterior, llegamos a que n≥d(R).∎
Corolario 1 Si 𝑹 es un anillo conmutativo con identidad local noetheriano y 𝒙 ∈ 𝑹 es nilpotente, entonces 𝒂𝒍𝒕(𝒙) = 0.
Demostración. Sea 𝑃 un primo minimal sobre (𝑥). Si 𝑎𝑙𝑡(𝑃) ≥ 1, entonces existe 𝑃1 ideal primo tal que 𝑃 ⊋ 𝑃1, y como 𝑥n = 0, para 𝑛 ∈ 𝑁, deducimos que 𝑥 ∈ 𝑃1, lo que es contradictorio.∎
Corolario 2 Si (𝑹,m) es un anillo conmutativo con identidad noetherino, entonces dim(R/(x1, … , xn))+n ≥dim(R). La igualdad se da si x1, … , xn es parte de un sistema de parámetros.
Demostración. Sea R^=R/(x1, … , xn) y y^i=yi+(x1, … , xn) (i=,2,...,r) un sistema de parámetros para el anillo R^. Sabemos que V(y^1,...,y^r)=m^ y dimR^=r. Como R/(x1, … , xn)/(y^1,...,y^r)≅R/(x1, … , xn,y1,...,yr), luego dim(R)≤n+r=n+dim((R/(x1, … , xn))).
Supongamos que (x1, … , xn,y1,...,yr) es un sistema de parámetro para R, luego dimR=n+r y es fácil ver que y^1,...,y^r es un sistema de parámetros para R^.∎
Corolario 3. Sea 𝒇:𝑹 → 𝑺 un morfismo de anillos Noetherianos conmutativos con identidad, tales que (𝑹,𝜶) y (𝑺,𝜷) son anillos locales con 𝒇(𝜶) ⊂ 𝜷. Entonces 𝐝𝐢𝐦(𝑺) ≤ 𝐝𝐢𝐦(𝑹) + 𝐝𝐢𝐦(S/𝜶e) (𝜶e=f(𝜶)S el ideal extensión).
Demostración. Supongamos que 𝑑𝑖𝑚(𝑅) = 𝑒 y dim(𝑆) = 𝑑. Consideremos un sistema de parámetros x1, … , xe 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑅, y un sistema de parámetros y1+𝜶e,...,yd+𝜶e para S/𝜶e. Existe un 𝑠 tal que 𝛼s ⊂ (x1, ⋯ , xe) y un 𝑡 tal que (𝛽/𝜶e)t ⊂ ( y1+𝜶e,...,yd+𝜶e ), deducimos que (𝛽/𝜶e)st ⊂ ( y1+𝜶e,...,yd+𝜶e )s, y por lo tanto 𝛽 st ⊂((f(x1), ⋯ , f(xe), y1, ⋯ , yd )𝑆. Es decir dim(𝑆) ≤ 𝑒 + 𝑑. Lo que prueba lo pedido∎
FUENTES (1) Jean R. Strooker : Homological Questions in Local Algebra. London Mathematical Society Lecture Series. Note 145. 1990.
(2) M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.