Sea A un anillo conmutativo con identidad, diremos que B es una A- álgebra de tipo finito, si y sólo si, B =A[x1,...,xn ] para algunos xi ∈ B. Una familia finita x1,...,xn en B, se dice algebraicamente libre, si A[x1,...,xn ] ≅φ A[X1,...,Xn ] , donde el isomorfismo φ(F(X1,...,Xn)) =F(x1,...,xn) para todo polinomio F(X1,...,Xn) ∈ A[X1,...,Xn ] . Vale el siguiente fundamental resultado geométrico:
Teorema 1 (Lema de Normalización de Noether). Sea B = k[y1,...,ym ] una k -álgebra de tipo finito donde k es un cuerpo. Entonces existen x1,...,xn elementos en B, algebraicamente libres, tales que B es entera sobre A = k[x1,...,xn ] (n ≤ m).
Demostración. Hagamos inducción sobre m . Si m = 0 , el resultado se sigue. De lo contrario m > 0 . Sea φ(F(X1,...,Xm)) =F(y1,...,ym) . Llamemos α = ker φ. Si α = 0, se deduce que k[y1,...,ym ] ≅φ k[X1,...,Xm ]y el resultado se sigue tomando xi=yi para todo i.
Supongamos ahora que α ≠ 0 . Existe un polinomio no nulo F(X1,...,Xm) tal que F(y1,...,ym)=0 .
Escribimos F(X1,...,Xm)=a1M1(X1,...,Xm)+...+anMn(X1,...,Xm), con ai ≠ 0 y Mi(X1,...,Xm)=aiX1si(1)⋯ Xmsi(m) monomios distintos de las m variables. Supondremos, sin perder generalidad, que X1 aparece en alguno de los monomios. Se define el peso del monomio Mi(X1,...,Xm) por d1si(1)+ ⋯ + dmsi(m) para una m-upla prefijada (d1, ⋯,dm) con d1 = 1 . Usando el hecho de que para cada i ≠ j , existe un si(t) −sj(t) ≠0, podemos hallar una m-upla (d1, ⋯,dm) (d1=1 )tomando los di suficientemente grandes, tales que d1( si(1) −sj(1)) +d2( si(2) −sj(2))+⋯ + d2( si(m) −sj(m))≠ 0, para cualesquiera i ≠j.
Haciendo cambio de variable Y1 = X1, Y2 = X2 − X1d2,...,Ym = Xm − X1dm, obtenemos que F(Y1, Y2 + Y1d2,⋯, Ym +Y1dm) =a1Y1d1s1(1)+ ⋯ + dms1(m)+ ⋯ +anY1d1sm(1)+ ⋯ + dmsm(m)+ ⋯ + es un polinomio no nulo del anillo de polinomios k[Y2,...,Ym ][Y1] . Si consideremos el anillo k [z2, ⋯, zm] donde z i= yi − y1di, veamos que z1 = y1 es entero sobre k [z2, ⋯, zm] . En efecto, el polinomio F(Y1, Y2 + Y1d2,⋯, Ym +Y1dm) ≠ 0 y mónico, entonces F(z1, z2 +z1d2, ⋯, zn +z1dn) = F(y1, ⋯, ym) = 0 . Por lo tanto y1, ⋯, ym son enteros sobre k [z2, ⋯, zm] . Usando hipótesis inductiva, existen x 1, ⋯, xn (n ≤ m − 1) algebraicamente libres tal que k [y2, ⋯, ym] es entera sobre k [z2, ⋯, zm] y como k [y1, y2, ⋯, ym] es entera sobre k [y2, ⋯, ym] , se resuelve el problema.∎
Corolario 1. Sea A[X1,...,Xn ] una k-álgebra de polinomios en n variables y P un ideal en A, entonces A/P es un cuerpo, si y sólo si, A/P es un k-módulo finitamente generado.
Demostración. Para ver el directo, suponga que A/P= k[X1+P,...,Xn+P ] es un cuerpo, luego por ser una k -álgebra de tipo finito, existen x1, ⋯, xn en A/P, algebraicamente libres, tales que A/P, es entera sobre k[x1,...,xn ] (m ≤ n) . Cómo el único ideal primo propio de A/P es el ideal 0 , se deduce que el único ideal primo de k[x1,...,xn ] es el 0, y por lo tanto n = 0, es decir es entera sobre k, luego es un k-módulo finitamente generado.
Recíprocamente, Supongamos que A/P es un k -módulo finitamente generado, luego en un k-espacio vectorial finitamente generado y por lo tanto A/P es una extensión entera sobre k. Al ser k un cuerpo, por el teorema de Cohen-Seidenberg, deducimos que A/P es un cuerpo, lo que prueba lo pedido.∎
Corolario 2. (Teorema de los ceros de Hilbert) Sea k un cuerpo, A=k[X1,...,Xn ] una k-álgebra de polinomios en n variables , α un ideal propio de A y x ∈ A. Supongamos que para cada extensión finita de de cuerpo L de k y cada k-homomorfismo de álgebras φ:A → L con α ⊆ kerφ obtenemos que φ(x) = 0, entonces existe un n > 0 tal que xn ∈ α.
Demostración. Si x = 0 no hay nada que demostrar. Supongamos que x ≠ 0 . Sea la k − álgebra B =k[X1,...,Xn ] [Xn+1 ] y β = <α >B + <1 −xXn+1> B . Entonces β ⊆ m, donde m es un ideal máximal de B. Por el corolarios 1, deducimos que B/m es un k-módulo finitamente generado y por lo tanto una extensión finita de k . Sea φ:A →B/m el morfismo canónico φ(a) = a + m. Es claro que φ es un morfismo de k-álgebras, α ⊆ kerφ y φ(x) = 0 . Note que φ(1) = φ(1 − xXn+1) + φ(x)φ(Xn+1) = 0 lo es contradictorio. Esto dice que β = B y por lo tanto 1 = ∑i=1rfi(X1,...,Xn)gi(X1,...,Xn,Xn+1)+ (1 − xXn)g(X1,...,Xn,Xn+1) con fi ∈ α y gi, g ∈ B. Sustituyendo Xn+1=1/x en la expresión anterior, deducimos que 1 = ∑i=1rfi(X1,...,Xn)gi(X1,...,Xn,1/x), luego xn∈ α par algún n.∎
Corolario 3. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado y A=k[X1,...,Xn ] una k-álgebra de polinomios en n variables. Entonces, todo ideal máximal m de A, es de la forma (X1-X1 −a1, ⋯, Xn −an) con ai∈ k.
Demostración. Si m es un ideal máximal de k[X1,...,Xn ] , como k[X1,...,Xn ]/m es un cuerpo, deducimos del corolario 1, que k[X1,...,Xn ]/m es entera sobre k, se deduce que k[X1,...,Xn ]/m ≅φk y por lo tanto φ(Xi + m) =ai(ai∈ k ) . Es decir Xi − ai ∈ m, ∀ i y como (X1-X1 −a1, ⋯, Xn −an) es máximal, se deduce que (X1-X1 −a1, ⋯, Xn −an) =m, se obtiene lo afirmado.∎
NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios sobre el lema de normalización de Noether, del capítulo 5 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.