MORFISMOS FIELMENTE PLANOS

Supondremos que A y B son anillos conmutativos con unidad.

Definición 1. Un módulo M sobre A es fielmente plano, si (1) m es un módulo plano sobre A (2) Si m es un ideal primo máximal, entonces mM ⊂ M (inclusión estricta).

El siguiente resultado es de suma importancia:

Lema 1. Si f:A→B es un morfismo de anillos y f^*:Spec(B)→Spect(A) la aplicación dada por f^*(β)=f⁻¹(β) =β^c (β contraído) es sobreyectiva, si y sólo si, α^ec=α, para todo α ∈ Spect(A) (α^e=<f( α )>_B es el ideal generado en B por f(α)).

Demostración. El directo es obvio. Para ver el recíproco, considere un ideal primo α en A, y supongamos que α^ec=α, veamos que existe un β ideal primo en B, tal que f⁻¹(β) =α. Sea S=f(A−α). Es inmediato ver que S es un conjunto multiplicativo en B, tal que 0∉S. Además por la definición de S, es inmediato ver que S∩ α^e=∅ . Existe un ideal primo β, tal que α^e⊆β y β∩S=∅, siendo β máximal entre los que cumplen esta propiedad. Es fácil ver que f⁻¹(β) =α. ∎

El siguiente es nuestro resultado más importante:

Teorema 1. Sea f:A→B es un morfismo de anillos, tal que B es una A-álgebra plano (es decir B es un A-módulo plano, donde la operación externa a.b=f(a).b, para todos a∈A, b∈B). Son equivalentes:

(1) α^ec=α, para todo α ideal de A.

(2) f^*:Spec(B)→Spect(A) es sobreyectiva.

(3) α^e⊂B (inclusión estricta) para todo ideal máximal α de A.

(4) M_B=B⊗_AM≠0, para todo M módulo sobre A.

(5) Si M es un módulo sobre A no nulo y g:M→B⊗_AM es el morfismo de A-módulos g(m)=1⊗m, entonces g es inyectiva.

Demostración. (1) ⇒(2) Es el directo del lema anterior.

(2) ⇒(3) Sea α ∈ Spect(A) máximal. Si α^e=B, luego α^ec=α=A por el lema anterior, lo que es contradictorio. Esto asegura el resultado.

(3)⇒ (4) Sea M un módulo sobre A no nulo, luego existe x ∈M, x≠0. El submódulo N=Ax es no nulo y podemos considera el morfismo inclusión i:N→M ( i(n)=n para todo n∈ N) el que es obviamente inyectivo. Como B es un módulo plano sobre A, nos dice que i⊗ 1:B⊗_AN → B⊗_AM dada por 1⊗ i(b⊗n)=1(b)⊗i(n)=b⊗n es un morfismo inyectivo. Existe un ideal propio α de A, tal que A/α ≅N y como B⊗_AN≅ B⊗_AA/α≅ (B/ α^e)≠0 se deduce el resultado.

(4)⇒ (5) Demostremos primeramente, que si f:A→B es un morfismo de anillos y N es un módulo sobre B, y N_B=B⊗_AN, el morfismo de B-módulos h:N→N_B, dado mediante h(y)=1⊗y es inyectivo. En efecto, sea p:N_B→N, luego p oh(y)=p(1⊗y)=y, de lo que se deduce la inyectividad de h.

Sea kerg≠0, luego existe x≠0 con g(x)=0. Sea N=Ax e i:N→M por i(n)=n para todo n∈ N, la que es inyectiva. Tenemos la sucesión exacta

0→N→ⁱM→^g M_B

y como B es plano sobre A, es exacta

0→N_B→^1⊗i→M_B→^1⊗g(M_B) _B

Por lo probado anteriormente, M_B→^1⊗g(M_B) _B es inyectiva

Se deduce que es exacta 0→N_B →0, por lo tanto N_B =0 lo que contradice la hipótesis.

(5)⇒ (1) Sea α un ideal propio no nulo de A, luego M=A/α es un modúlo sobre A, no nulo. Por lo tanto M_B=B⊗_AA/α =B/α^e y como la aplicación g:A/α→M_B (r+α→1⊗(r+α)) es inyectiva, entonces f⁻¹(α^e)^c=β=α De lo contrario, existe un r∈β−α, luego g(r+α)=1⊗(r+α)=0, lo que es contradictorio.∎

Terminamos con la siguiente definición:

Definición 2. Un morfismo de anillos f:A→B se dice que es fielmente plano, si B es plano sobre A y vale el teorema anterior.

NOTA
Es importante referir que lo desarrollado en estas notas son soluciones a los ejercicios sobre morfismos fielmente planos, del capítulo 3 del libro de M.F. Atiyay, y I. G Macdonal: Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.