OPERADORES CASINILPOTENTES I

Sea X un espacio de Banach y T:X →X un operador acotado. Se dice que T es un operador casinilpotente, si

r(T)=lim_n→+∞||Tⁿ||^1/n=0 (radio espectral).

Es decir T es casinilpotente, si dado un número complejo λ distinto del cero, entonces el operador T −λI es invertible.

Recordemos que un operador T es nilpotente, si existe un número natural n, tal que Tⁿ=0. Es claro que todo operador nilpotente es casinilpotente.

Veamos que existen operadores casinilpotente, que no son nilpotentes.

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Ejemplo 1. (Operador de Volterra) Sea X=C[ 0,1]={f:[ 0,1]→C: tal que f es continua}.

Se define T:C[ 0,1]→C[ 0,1] por T(f)(t)= ∫₀^tf(s)ds.

Como T(f)(t)´=f(t), se deduce que T( f) es continua.

Por otro lado |T(f)(t)|=|∫₀^tf(s)ds|≤∫₀^t|f(s)|ds≤∫₀^t||f||_∞ds=t||f||_∞

de lo que se deduce que ||T||≤1, es decir T es un operador acotado.

Veamos que el operador es casinilpotente. Sea λ≠0 un número complejo. Veamos que el operador T −λI es invertible. Sea f∈C[ 0,1] tal que T(f)=0. Esto dice que ∫₀^tf(s)=λf(t), ∀ 0 ≤t≤1. Si f≠0, entonces ∫₀¹f(s)ds≠0. Sea A={x∈[ 0,1]: ∫₀^xf(s)ds =0}, conjunto no vacío y acotado superiormente. Si a=sup(A), es claro que 0≤a <1. Dado a<y ≤1, como ∫₀^yf(s)ds=λf(y), entonces |λ|²|f(y)|²≤| ∫₀^yf(s)ds|², de lo que se deduce que |f(y)|²≤ 1/|λ|² (∫_g0^y|f(s)|²ds).

Si definimos g(y)=∫₀^y|f(s)|²ds, luego g´(y)=|f(y)|²≤1/|λ|²g(y). Es decir

|λ|²g´(y)/g(y) ≤1 (∀ a<y ≤1) y como g´(y) es una función acotada y g(y)→0, si y→a, luego obtenemos una clara contradicción.

Esto dice que Ker(T −λI )=0.

Para demostrar que T −λI es sobreyectiva, veremos que T es un operador compacto. Sea f_n una sucesión cotada en C[ 0,1] , es decir existe r>0 tal que ||T(f_n)||≤r, ∀ n. Veamos que la familia T(f_n) es equicontinua. Sea ε> 0. Como |T(f_n)(x)−T(f_n)(y)|=| ∫_x^yf(s)ds|≤|x−y|||f_n||≤r|x−y|, si consideramos δ=ε/2r, se deduce que |T(f_n)(x)−T(f_n)(y)|≤ε para todo |x−y|≤ δ. Aplicando el teorema de Arzela, llegamos a que existe una subsucesión f_nk y f∈C[ 0,1] tales que T( f_nk) converge uniformemente a f. Esto prueba lo afirmado.

Por ser T un operador compacto, como Ker(T −λI )=0, luego (T −λI )(C[ 0,1])=C[ 0,1] por la alternativa de Fredholm. Esto asegura el operador T es casinilpotente.

Finalmente, veamos que T no es un operador nilpotente. En efecto, existe una f∈C[ 0,1] tal que T(f)≠0, es claro que T(f)=f₁ continua y diferente de 0. Aplicando este argumento, reiterativamente, deducimos lo afirmado.

Definición 1. Si T:X →X es un operador acotado, se dice que H₀(T)={x∈X: ||Tⁿ(x)||^1/n→0} es la parte casinilpotente del operador.

Vale la siguiente caracterización:

Proposición 1. T:X →X es un operador casinilpotente , si y sólo si, H₀(T)=X.

Demostración.

Para ver el recíproco, considere λ≠0.

Sea la serie Σ_n=0^+∞||Tⁿ(x)||/| λ|ⁿ⁺¹, la que es obviamente convergente, usando el criterio de la raíz.

Sea y=Σ_n=0^+∞Tⁿ(x)/λⁿ⁺¹. Es directo ver que (T −λI )(−y)=x. Por otro lado, si T(x)=λx, luego ||Tⁿ(x)||^1/n=|λ| ||x||→0, se deduce que x=0. Esto prueba lo pedido.

El directo es obvio.


Finalizamos, con un importante resultado, que una generalización de uno demostrado en [Bravo 2007].

Proposición 2. Sean 𝑋 un espacio de Banach y T:X →X un operador acotado. Son equivalentes: (1) 𝑇 es cas nilpotente (2) Existe una sucesión a_n de números no negativos, tales que a_n ^1/n→+∞ y ||a_nTⁿ(x)||^1/n→0.

Demostración.

Para ver el directo, como ||Tⁿ(x)||^1/n→0, existe una subsucesión n_k, tal que ||Tⁿ(x)||^1/n≤1/k², ∀ n≥n_k.Consideremos la sucesión a_n=1, si n <n₁ y a_n=kⁿ, si n_k≤n <n_k+1. Es claro que a_n ^1/n→+∞ .

Por otro lado,

||a_nTⁿ(x)||²=[ ||a_nTⁿ(x)||^1/n]²ⁿ=[ ||kⁿTⁿ(x)||^1/n]²ⁿ=k²ⁿ[ ||Tⁿ(x)||^1/n]²ⁿ≤1/k²ⁿ (∀n: n_k≤n <n_k+1).

Puesto que (1/k²ⁿ)^1/n=1/kⁿ→0 cundo n → +∞, se sigue que Σ_n=0^+∞||a_nTⁿ(x)||² es convergente. luego ||a_nTⁿ(x)||² →0, de lo que se sigue que ||a_nTⁿ(x)||^1/n →0 y por lo tanto ||a_nTⁿ(x)||^1/n→0, ∀ x∈X. Esto prueba el directo.

Para ver el recíproco, como ||a_nTⁿ(x)||^1/n→0, ∀ x∈X, entonces

||a_nTⁿ(x)||^1/n/ a_n ^1/n= ||Tⁿ(x)||^1/n→0, ∀ x∈X,. Aplicando la proposición 1, sale el recíproco.

REFERENCIAS

Pietro Aiena (2004): Fredholm and Local Spectral Theory, with Applications to Multipliers. Kluwer Acad. Publishers.

Jaime Bravo (2007): Operadores casi nilpotentes y subespacios invariantes. Departamento de Matemáticas. Facultad Experimental de Ciencias. Universidad del Zulia.


P. R. Halmos (1982): A Hilbert Space Problem Book. (Graduate Text in Mathematics). Springer Science.


Edixo Rosales (2016): Regularidad de Operadores y Aplicaciones. Editorial Académica Española.