RANGO DE UN MÓDULO
Sea A un dominio de integridad y M un módulo sobre A . Si k es el cuerpo cociente del dominio , entonces Mk=k ⊗k M es un espacio vectorial sobre k y a su dimensión dim( Mk)= r(M) se le llama el rango del módulo M.
Veamos algunos propiedades importantes del rango :
(1) Supongamos que r(M) < + ∞ y N es un submódulo de M, entonces r(M) < + ∞ y r(M/N) < + ∞ y vale r(M)=r(N)+r(M/N).
Sabemos que es exacta:
luego es exacta
de lo que se deduce que
que prueba lo pedido.
(2) r(M)=0, si y sólo si, T(M)=0 (T(M) la torsión del módulo M)
Si dim( k ⊗k M)=0, entonces k ⊗k M=0 y por lo tanto MA*=0 (A * son los elementos no nulos del dominio), de lo que se deduce que T(M)=M y recíprocamente.
(3) Si es M es un módulo de longitud finita sobre un dominio A, que supondremos tiene más de dos elementos, entonces T(M)=M .
Supongamos, primeramente que M, es una módulos simple sobre A. Sabemos que fr:M →M dada por fr(m)=rm es un morfismo de módulos, luego fr(M)=M, o fr(M)=0. Si existe algún r ≠ 0 tal que fr(M)=M, se deduce que T(M)=M. De lo contrario fr(M)=0 para todo r ≠ 0. Vamos a demostrar que k ⊗k M =0, en efecto r/s⊗m= 1/s⊗rm=0 (r ≠1), el resto de los casos se sigue de la misma manera. Se deduce que r(M)=0 y por lo tanto T(M)=0 . Ahora, suponemos que el resultado vale para todo k=1,2,...,n−1. Sea una serie de descomposición para N :
Como
es una serie de descomposición para
ya que
es un módulo simple, y como es simple Mn−1; por hipótesis inductiva y por lo probado anteriormente, deducimos que T(M/Mn−1)=M/Mn−1 y T(Mn−1)=Mn−1, luego r( M/Mn−1)=0 y r(Mn−1) =0 y por lo tanto r(M)=0. lo que prueba lo afirmado.