Razón Áurea
, consideremos dos puntos distintos
.
La función
describe los puntos de una recta que pasa por los puntos ; y si restringimos la función al intervalo cerrado 
obtendremos el segmento orientado 
. Es natural definir la longitud de un segmento orientado , mediante 
(norma euclidea en el plano).
Diremos que un punto 
divide al segmento orientado en una razón 
, si 
. Se deduce que 
Es fácil ver que si 
, entonces es un punto del segmento orientado.
Se dice que un punto divide al segmento orientado en la razón áurea] 
, si 
y 
. Despejando, obtenemos que 
y resolviendo esta ecuación en función de coordenadas, llegamos a que 
.
El rectángulo 
se dice que es un rectángulo áureo; si 
, entonces 
. Por ejemplo si 
, entonces 
. En la gráfica este rectángulo áureo:
Sucesiones de Fibonacci y la razón Áurea
Sea la sucesión de términos enteros
Se dice que esta sucesión es de Fibonacci. Sea la matriz 
. Por inducción se prueba directamente que 
.
Consideremos los números 
y su conjugado 
. Si 
, entonces 
y 
. Por lo tanto 
.
Se deduce que 
y como 
, 
(para valores grandes de ) 
. Es claro que 
.
Realmente el estudio que hemos hecho, nos lleva a reflexionar sobre el encuentro de dos momentos estelares de las matemáticas: Uno, el de la razón áurea de naturaleza estrictamente geométrico, que tanto le aportó a la estética del renacimiento; y el segundo, las sucesiones de Fibonacci de naturaleza estrictamente cuantitativa y que ha servido para modelar varios problemas de las ciencia en general. Un comentario de John Allen Paulos sobre estos dos momentos estelares de las matemáticas bien vale la pena: «Uno y otro evocan una placidez que parece un tanto disonante con nuestra era actual, más fracturada y espinosa, cuyo emblema matemático más apropiado es la teoría del caos ». Yo diría de una placidez en el mundo de las ideas de dos resultados que se encuentran en el concepto del límite.