TOPOLOGÍA ULTRAFILTRO SOBRE EL ESPECTRO
Sea F un filtro sobre X y F1 ⊂ X . Son equivalentes (a) { F1 } ∪ F está contenido en un filtro sobre X (b) F1 ∩ F2≠ ∅ , para todo F2 ∈ F.
La prueba del resultado anterior es inmediata.
Un filtro F sobre X se dice que es un ultrafiltro sobre X (o filtro máximal sobre X), si dado un filtro U sobre X, tal que F ⊂ U entonces F=U. Usando el lema de Zorn se puede demostrar que cada F filtro sobre X, está contenido en U ultrafiltro sobre X.
Vale la siguiente importante caracterización de ultrafiltros sobre X:
Sea F un filtro sobre X, son equivalentes: (a) F es un filtro máximal sobre X (b) Si F1 ⊂ X y F1 ∩ F2≠ ∅ , para todo F2 ∈ F , entonces F1 ∈ F (c) Para todo F1 ⊂ X , entonces F1 ∈F, o existe F2 ∈F tal que F2 ⊂ X− F1.
(a) ⇒ (b) Sea F1 ⊂ X y F1 ∩ F2≠ ∅ , para todo F2 ∈ F . Si F1 ∉ F. entonces { F 1} ∪ F es un filtro sobre X, lo que es contradictorio.
(b) ⇒ (c) Supongamos que F1⊂ X. Si existe F2 ∈ F, tal que F1 ∩ F2= ∅ , entonces F2 ⊂ X− F1, de lo contrario, por hipótesis F1 ∈ F.
(c) ⇒ (a) Supongamos que existe U filtro sobre X tal que F⊊ U, luego existe F1∈ U−F. Por hipótesis, existe F2 ∈F tal que F2 ⊂ X− F1 y por lo tanto F1 ∩ F2= ∅, lo que es contradictorio. Esto garantiza que F es un ultrafiltro sobre X.
Consideremos F un ultrafiltro sobre X y F1 ∈F , entonces F|F1={ F1 ∩ F2: F2 ∈F} es un ultrafiltro sobre F1.
Es fácil su demostración.
Si f: ∇→X es una función biyectiva y F un ultrafiltro sobre X; entonces W={ f−1( F1): F1 ∈F} es un ultrafiltro sobre ∇.
Probemos, solamente, que vale la condición (c) del resultado anterior. En efecto, considere F1 ∈ ∇ y F1 ∉ W, entonces f(F1)∉ F, luego existe F2∈ F, tal que F 2 ⊂ X− f(F1), luego f−1( F2) ⊂ ∇ − F1, lo que prueba que vale (c) del resultado anterior y por lo tanto W es un ultrafiltro sobre ∇.
Si f: X→∇ es una función sobreyectiva y F un ultrafiltro sobre X; entonces W={ f( F1): F1 ∈F} es un ultrafiltro sobre ∇.
La demostración es similar a la anterior.
Sea (R,+,.) un anillo conmutativo con unidad y X=Spect(R) (Espectro primo). Si (X, τZ) es el espacio topológico de Zariski. Sabemos que τZ tiene como base la familia de abiertos D(r)={ P∈Spect(R): r ∉P} , lo que es equivalente a decir que sus complementos V(r)=X − D(r) ={ P∈Spect(R): r ∈ P} forman una base de cerrados.
Sea C una subfamilia del Spect(R) y F un ultrafiltro sobre C, Si PF= { a∈ R: V(a) ∩ C ∈ F}, entonces PF es un ideal primo.
En efecto, si a,b ∈ PF, entonces V(a+b)∩ C=(V(a)∩ C)∩ (V(b)∩ C) ∈F. Esto dice que a+b ∈ PF. Supongamos ahora que a ∈ PF y b ∈ A, luego (V(a) ∪ V(b))∩ C=V(a.b)∩ C y como V(a)∩ C ∈F y V(a)∩ C ⊂ V(a.b)∩ C, se deduce que a.b ∈ PF. Finalmente sea a.b ∈ PF. Como (V(a) ∪ V(b))∩ C=V(a.b)∩ C∈F, por ser F un filtro primo, se deduce que V(a)∩ C ∈F, o V(b)∩ C ∈F.
Un ultrafiltro F sobre X se dirá principal, si existe x ∈X, tal que Fx={ F1⊂ X: x ∈ F1 }=F. Un ultrafiltro F sobre X que no sea principal, se dirá libre.
El siguiente resultado es cierto
Sea un ultrafiltro F sobre X, entonces (a) F es principal, si y sólo si, ∩{ F1: F1∈ F}≠ ∅ (b) Si X es un conjunto finito, entonces F es principal.
Se puede probar, usando el lema de Zorn, que si X es infinito, existe un F ultrafiltro sobre X que es libre.
Sea C ⊂ Spect(R) y F un ultrafiltro sobre C tal que es principal. Si F=FP, entonces PFP=P
En efecto, a ∈ PFP, si y sólo si V(a)∩ C ∈ FP, si y sólo si P ∈ V(a), si y sólo si a ∈ P.
Sea C ⊂ Spect(R). Se dice que C es un cerrado ultrafiltro, si dado un F ultrafiltro sobre C, entonces PF∈ C.
Los cerrados ultrafiltros son los cerrados de una topología sobre el Spect(R) .
Es claro que Spect(R) es en sí mismo un cerrado ultrafiltro y también el vacío por vacuidad.
Supongamos ahora que C1,...,Cn son cerrados ultrafiltros del Spect(R) y C= C1∪...∪Cn. Dado un ultrafiltro F sobre C, queremos demostrar que PF∈ C. En efecto, como F es filtro primo y C ∈F, se deduce para algún k, Ck ∈F , Supongamos para concretar que C1. Sabemos que F|C1={ C1 ∩ F1: F1 ∈F} es un ultrafiltro sobre C1. Por otro lado PF|C1 ∈ C1. Veamos que PF|C1=PF. En efecto, sea d ∈ PF|C1, luego V(d) ∩C1 ∈ F|C1. Esto dice que existe F1∈F tal que F1 ∩ C1= V(d) ∩C1 ∈ F y como V(d) ∩ C1 ⊂ V(d) ∩ C ∈F, lo que dice que b ∈ PF. Sea d ∈ PF. Como V(d)∩ C ∈F y V(d)∩C1 = (V(d) ∩ C) ∩ C1 ∈ F|C1, se deduce que b ∈PF|C1. Al ser C1 cerrado ultrafiltro, luego PF|C1=PF∈ C1 ⊂ C. Esto dice que PF∈ C y por lo tanto C es un cerrado ultrafiltro del espectro.
Sea ahora una familia {Cλ } arbitraria de cerrados ultrafiltros. Demostremos que C=∩λCλ es un cerrado ultrafiltro. Sea F un ultrafiltro sobre C, veamos que PF∈ C. Para cada λ, la familia Fλ= {F1 ⊂ Cλ: F1 ∩ C ∈ F} es un ultrafiltro sobre Cλ. Supongamos que F1 ⊂ Cλ, tal que F1∩ F2≠ ∅ para todo F2∈ Fλ. Es claro que F c Fλ y por lo tanto F1∩ F2≠ ∅ para todo F2∈ F, luego F2∩ (F1∩C)≠ ∅, de lo que se deduce que F1∩C ∈ F, es decir F1∈ Fλ. Las demás propiedades de ultrafiltro se siguen directamente.
Finalmente: d ∈ PFλ, si y sólo si, V(d)∩Cλ∈ Fλ; si y sólo si, V(d)∩Cλ∩C∈ F; si y sólo si, V(d)∩C∈ F; si y sólo si, d∈ PF. Es decir PFλ=PF∈Cλ y como λ es arbitrario, deducimos que PF∈C. Es decir C es cerrado ultrafiltro.
Esto prueba el resultado.
Los conjuntos cerrados ultrafiltros del Spect(R) determinan una topología τU que llamaremos la topología ultrafitro sobre el espectro de R.
TOPOLOGÍA CONSTRUCTIBLE SOBRE EL ESPECTRO
Consideremos ahora en el espectro R del anillo, la topología discreta τd, Es claro que en esta topología la familia V(d) para cada d∈R es abierto y cerrado. como también los cerrados de la forma V(J) con J ideal. Además la topología de Zariski τZ⊂τd. Llamemos τc=∩{τ: τ es una topología sobre Spect(R) tal que los V(d) y V(J) son abiertos y cerrados }. Se tiene que τc es una topología sobre el espectro de R, y es la menor topología donde los V(d) y V(J) son abiertos y cerrados. A τc se le llama la topología contructible de espectro.
El objetivo fundamental de estas notas, es demostrar que la topología constructible y la topología ultrafiltro coinciden.
Si C ⊂ Spect(R) es cerrado en la topología constructible, entonces C es cerrado en la topología ultrafiltro.
Sea el cerrado de la form C=V(I) con I un ideal del anillo R. Sea F un ultrafiltro sobre C. Si a∈I y P∈C,luego a∈P y por lo tanto C⊂V(a) y como C∈F, entonces V(a)∩C=C∈F. Esto dice que a∈PF. Es decir PF∈C, lo que prueba que C es cerrado ultrafiltro.
Sea ahora C=D(a) para a∈R y F un ultrafiltro sobre C. Como V(a)∩C=∅∉ F, luego a∉ PF. Es decir PF∈D(a)=C, lo que dice que C=D(a) es un cerrado ultrafiltro.
Lo anterior demuestra que τc⊂τu.
Sea (X,τ) un espacio topológico y F un ultrafiltro sobre X. Para x∈X, se dice que F es convergente a x , si cada entorno abierto U de x, es un elemento de F.
Es conocido de la topología que un espacio topológico (X,τ) es compacto, si todo ultrafiltro F sobre X es convergente.
(Spect(R), τu) es compacto.
En efecto, sea un F ultrafiltro sobre Spect(R). Veamos que F converge a PF en la topología τu . De lo contrario, existe un entorno abierto U de PF en τu tal que U∉ F, luego C=Spect(R)−U ∈F y por lo tanto F|C={ F1∩C: F1 ∈F} es un ultrafiltro sobre C. Como C es cerrado en la topología τu, entonces P F|C∈C.
Probemos que PF=PF|C. En efecto, si a∈PF, entonces V(a)∩Spect(R)=V(a)∈F, y de esta manera V(a)∩C∈F|C, es decir a∈PF|C. Por otro lado, si a∈PF|C, entonces V(a)∩C ∈ F|C; por lo tanto existe F1 ∈F tal que F1∩C=V(a)∩C∈F. Como V(a)∩C⊂V(a), se deduce que V(a)∈F, lo que asegura que a∈ PF. Esto demuestra que PF=PF|C.
De lo anterior deducimos que PF∈C, lo que es una contradicción.
La topología constructible y la topología ultrafiltro son iguales sobre el Spect(R).
En efecto, como (Spect(R), τu) es compacto , (Spect(R), τc) es Hausdorff y τc⊂τu, se deduce que τc=τu.
APLICACIONES A LOS ANILLOS REGULARES VON NEWMANN
Recordemos queun anillo R conmuttivo con identidad, es regular Von Newmann, si dado a∈R existe b∈R tal que a=a2.b
Recuerde también que el radical del anilla R, es el conjunto √ A=∩ { P : P∈Spect(R)}
El siguiente resultado es una caracterización de los anillos regulares Von Newmann.
R/√ A es un anillo regular Von Newmann, si y sólo si, τc=τZ
Supongamos inicialmente que √ A =0. Dado r∈R, existe e∈R, tal que e2=e y Re=Rr. Como V(r)=V(e) y X=V(e) ∪ V(1-e)=V(0) y V(e)∩V(1−e)= ∅, deducimos los V(r( son abiertos y cerrados y por lo tanto los D(r) son abiertos y cerrados, es decir τZ=τc.
Supongamos que √ A≠0 y el anillo cociente R/√ A es un anillo regular Von Newmann. Sabemos que θ:R→R/√ A tal que θ(r)=r+√ A es epimorfismo continuo, luego θ* : Spect(R/√A) →Spect(R) (θ * (Q)=θ−1(Q)) es un homeomorfismo, y como θ* −1(D(r))=D(r+√ A) es abierto y cerrado, se deduce que D(r) es abierto y cerrado, lo que prueba que τZ=τc.
Recíprocamente, si τZ=τc, entonces la topología es Hausorff y por lo tanto R/√ A es regular Von Newmann.
REFERENCIAS
Sebastían Andres Barrías Burgos. Propiedades de las topologías vistas como semianillos. Tesis de maestría. Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas. Universidad de Concepción. Chile. 2016.
M.F. Atiyay, I. G Macdonal. Introducción al Algebra Conmutativa. Editorial Reverte. 1978.