LÍMITES DE BANACH
Por las sucesiones reales acotadas, entenderemos el espacio de Banach
Rel∞ (Z+)={(xn )⊂ R: ||(xn )||∞ <∞}
Sea f=(i1 ,i2 ,...,in ) (ik ∈N)
Definamos la función Pf :Rel∞ (Z+)→R, mediante
Pf ((xm ))=sup1≤k < ∞1/nΣj=1 n xk+ij .
Es fácil ver que Pf está bien definida.
Note realmente que
inf1≤m < ∞{xm }≤1/nΣj=1 n xk+ij ≤sup1≤m < ∞{xm }.
Sea σ:{1,2,...,n }→{1,2,...,n } una permutación y σf=(iσ(1) ,iσ(2) ,...,iσ(n) ). Es evidente que Pf =Pσf .
Si g==(i´1 ,i´2,...,i´m ), vamos a demostrar que
Pf +g(x+y)≤ Pf (x)+ Pg (y), donde f+g es la nm tupla de números naturales ij +i´h con j=1,2,..,n y h=1,2,...,m. Ya hemos dicho que el orden en que aparezcan esos sumando en la nm tupla es indiferente. Tenemos que
1/nmΣj,h (x+y)k+ij +i´h =1/nmΣj,h xk+ij +i´h +1/nmΣj,h yk+ij +i´h =
1/mΣh=1 m (1/nΣj =1n x+k+ij +i´h )+1/nΣj =1n(1/mΣh=1m x+k+ij +i´h )≤
1/mΣh=1m Pf (x)+1/nΣj=1n Pg (y)=Pf (x)+Pg (y).
Definamos ahora P:Rel∞ (Z+)→R, mediante
P((xm ))=inffPf ((xm )).
Vamos a demostrar que P es una seminorma.
Es claro que P(αx)=αP(x), para todo α≥0 y x∈Rel∞ (Z+).
Veamos que P(x+y)≤P(x)+P(y). En efecto, dado ε>0, existe f una n tupla, tal que Pf (x)≤P(x)+ ε. De manera similar, existe una m tupla g, tal que Pg (y)≤P(y)+ ε. Sabemos por lo estudiando anteriormente, que Pf +g(x+y)≤ Pf (x)+ Pg (y)≤P(x)+ ε + P(y)+ ε, de lo que se deduce que P(x+y) ≤P(x)+ P(y)+2 ε y como ε es arbitrario, deducimos que P(x+y)≤P(x)+ P(y).
Por un versión del teorema de Hahn -Banach, existe una funcional lineal real continuo
L:Rel∞ (Z+)→R, tal que L(x)≤P(x), para todo x∈Rel∞ (Z+) .
A cualquier L que cumpla lo anterior se le llama un límite de Banach de Rel∞ (Z+).
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE BANACH
(1) ||L||=1
Sabemos que L(x)≤P(x), para todo x∈Rel∞ (Z+) y como cada Pf (x)≤||(xn )||∞ , deducimos que L(x)≤||(xn )||∞ . Por otro lado −L(x)=L(−x)≤P(−x)≤sup1≤m < ∞{−xn }≤||(xn )||∞ . Es decir |L(x)|≤||(xn )||∞ y por lo tanto ||L|| ≤1. Como −L(x)≤P(−x), entonces −P(−x)≤L(x)≤P(x) Finalmente si x=(1,1,...), de lo anterior se deduce que L(1,1,...)=1, lo que prueba lo afirmado.
(2) L(x1,x2 ,x3 ,...)= L(x2 ,x3 ,...), para todo (xn )∈Rel∞ (Z+)
Sean x=(x1,x2 ,x3 ,...), y=(x2,x3,x4,...). Sea f==(1 ,2 ,...,n ) , luego
1/nΣi=1 n (x−y)k+i=1/n(xk+1−xk+n+1j ) y como P(x−y)≤Pf (x−y)=1/n(xk+1−xk+n+1j ) . al ser n arbitrario, deducimos que P(x−y)≤0. De igual manera P(y−x)≤0 , y al ser L lineal y L(x)≤P(x), deducimos que L(x−y)=0, lo que prueba lo pedido.
(3) lim— xm≤L(x)≤lim— xm
Sea y(n)=(xn,xn+1 ,....). Es claro por probado en (2) que L(x)=L(y(n)) para todo n y como L(y(n))≤sup{xn,xn+1 ,....}, se deduce que L(x)≤lim— xm. Por otro lado −(L(x))=L(−x)≤sup{−xn,−xn+1 ,....} =−inf{xn,xn+1 ,....}, luego inf{xn,xn+1 ,....}≤L(x) de lo que se deduce que lim— xm≤L(x).
(4) Si (xm )⊂ R es convergente en R, entonces L(x)=limm→∞ xm
Es una aplicación inmediata de (3).
Ahora consideremos el espacio de Banach complejo l∞ (Z+)={(xn )⊂ C: ||(xn )||∞ <∞}.
Se dice que un operador lineal acotado L: l∞ (Z+)→C es un límite en l∞ (Z+). si cumple las propiedades:
(1) L(x1,x2 ,x3 ,...)= L(x2 ,x3 ,...), para todo (xn )∈l∞ (Z+)
(2) lim— xm≤L(x)≤lim— xm, para todo (xn )∈l∞ (Z+)
(3) Si (xm )⊂ C es convergente en C, entonces L(x)=limm→∞ xm
Vamos a demostrar que existen límites de Banach en l∞ (Z+).
Sea L1 un límite de Banach en Rel∞ (Z+) y definamos el operador lineal L:l∞ (Z+)→C , mediante L(x)=L1 (Rex)+iL1 (Imx), para todo (xn )∈l∞ (Z+). Es fácil demostrar que L tiene todas las propiedades exigidas.
UNA APLICACIÓN DE LOS LÍMITES DE BANACH
Sea X un espacio de Banach complejo y T:X→X un operador acotado.
Se dice que T es acotado por potencias, si existe β >0, tal que ||Tn||≤β, para toda potencia no negativa n del operador.
Recordemos que el espectro del operador cotado T, es el subconjunto de los números complejos σ(T)={λ ∈C: T−λI es un operador no invertible}. Dos particulares subconjuntos del espectro σ(T), serán de nuestro interés. Primero el espectro puntual o de sus valores propios, definido por σp(T)={λ ∈C: ker(T−λI)≠0 } y el espectro continuo dado por σc(T)={λ ∈C: ((T−λI)(X)) —=X y T−λI es inyectiva }.
Un operador acotado T:X→X se dice lleno, si para cada subespacio M invariante para T (es decir T(M)⊆M), entonces T(M)) —=M. Note que ser T un operador lleno, es lo mismo que decir que 0∈σc(T|M), donde T|M es el operador T restringido a M.
Si T:X→X es un operador acota y X * es el espacio dual de X, entonces el operador adjunto T´:X *→ X *, se define por T´(f)=f◦T, para toda funcional lineal continua f. El siguiente resultado es fundamental:
Sea T:X→X acotado por potencias y supongamos que existan f∈X * y x 0∈X, tales que
f(T( nx 0))→α≠0, entonces T´ tiene un punto fijo.
Para demostrar lo anterior, observe que ( f(T( nx))∈l∞ (Z+) para cada x∈l∞ (Z+). Si L es un límite de Banach para l∞ (Z+), entonces
θ(x)=L(f(T n(x)) es un funcional lineal continuo no nulo, ya que θ(x 0)≠0, y como θ(T(x))=θ(x), para todo x, se deduce que T´(θ)=θ.
Si suponemos además que X es un espacio de Banach reflexivo, entonces T tiene un punto fijo, si y sólo si, T´ tiene un punto fijo.
Para ver el directo, supongamos que T(x 0)=x 0 para algún x 0≠0, luego T n(x 0)=x 0 y por el teorema de Hahn-Banach , existe un funcional lineal continuo y unitario f, tal que f(x 0)≠0, luego f((T n(x 0)=f(x 0))→f(x 0)≠0. Aplicando el resultado anterior, se deduce el directo. El recíproco sale usando la propiedad de reflexividad del espacio de Banach X.
Si T es un operador acotado por potencias , tal que el operador adjunto T´no tiene valores propios de valor absoluto uno, entonces T−λI es un operador lleno, para cada número complejo λ con |λ|=1.
Supongamos que T−λI no es lleno y sin pérdida de generalidad que λ=1. Sea M invariante para T−λI, tal que ((T−λI)M) — ⊂M, donde la inclusión es estricta. Es claro que M es también invariante para T. Por el teorema de Hahn-Banach, existen x 0∈M y un funcional lineal continuo f, tales que f(x 0)≠0 y f((T−I)M)=0. Veamos que f(T n(x 0)= f(x 0). El resultado es cierto para n=1. Si vale para n, como T n(x 0)∈M, se deduce que f((T−I)T n(x 0))=0. Es decir f(T n+1(x 0))=f(T n(x 0)= f(x 0), Esto dice que f(T n(x 0) →f(x 0)≠0 y aplicando un resultado anterior, deducimos que 1 es un valor propio de T, lo que es contradictorio.
El siguiente es nuestro resultado principal:
Sea T:X→X un operador acotado tal que X es de Banach reflexivo y T n→0 débilmente, es decir f(T n(x))→0 para toda funcional lineal continua f y σc(T) no tiene puntos de valor absoluto uno, entonces el radio espectral r(T) de T es menor que uno.
Para demostrarlo, observemos primero que, si T n→0 débilmente, entonces sup{ ||T n||}=α<∞. De lo que se deduce que ||T n||≤α, es decir T es acotado por potencias y como ||T n|| 1/n≤α 1/n, pasando al límite en n, deducimos que r(T)=limn→∞||T n|| 1/n=r(T)≤1. Veamos que si |λ |=1, entonces T−λI es inyectivo. En efecto, si (T−λI))x=0, entonces T(x)=λx, luego T n(x)=λ nx. Si x≠0, existe un funcional lineal continuo f no nulo, tal que f(x)≠0, luego f(T n(x))→0 y por lo tanto |λ| n→0, lo que es contradictorio. Por ser X de Banach reflexivo, T´ n→0 débilmente y por un razonamiento similar al anterior, el adjunto T´no tiene valores propios de módulo uno. Apicando un resultado anterior, deducimos que T−λI es lleno y por lo tanto ((T−λI)X) —=X. Esto dice que λ pertenece al espectro continuo σc(T), lo que es contradictorio.
FUENTES
Jaime Bravo (1988): Análisis Funcional con aplicaciones a la teoría de operadores, Universidad del Zulia, Maracaibo.
Carlos S. Kubrusly (2003): Hilbert Space Operators. Birhauser. Berlin.
Edixo Rosales y Klarys Fereira (2016) : Estabilidad y regularidad de operadores. Boletín de la Asociación Venezolana de Matemáticas. Caracas.