OPERADORES AUTOADJUNTOS SOBRE ESPACIOS DE BANACH

OPERADORES AUTOADJUNTOS SOBRE ESPACIOS DE BANACH

Preliminares

X será un espacio de Banach complejo y X^* su espacio de Banach dual. El espacio de todos los operadores acotados lo denotaremos por B(X).

La resolvente de un operador T ∈ B(X), es el subconjunto de los números complejos C, formado por los λ, tales que los operadores T−λI son invertibles. Se denota la resolvente por ρ(T ). El conjunto σ (T)=C − ρ(T ) se le llama el espectro del operador T, el cual es un subconjunto compacto del plano complejo.

El radio espectral de un operador T, es el número real

r(T)=sup{ |λ|: λ ∈ σ (T) }= lim_{n → +∞}||Tⁿ||^1/n.

Es claro que r(T)≤||T||. Es importante señalar que si T es un operador invertible y acotado por potencias enteras (es decir, existe r > 0, tal que ||Tⁿ|| ≤ r, para todo número entero n); entonces σ (T) ⊂ { λ ∈ C: |λ|=1 }.

El cálculo funcional dice que si f:U → C es una función analítica en un abierto U del plano complejo, con σ (T) ⊂ U y tal que

f(λ )=c_o+c₁λ+c₂λ ²+....+ c_nλ ⁿ+... (λ ∈ U),

entonces existe un operador f(T), tal que f(T)= c_oI+c₁T+c₂T ²+....+ c_nTⁿ+..., donde la convergencia es en la norma de los operadores.

El siguiente resultado es fundamental en la teoría de operadores:

Teorema del mapeo espectral:

Si f:U → C es una función analítica en un abierto U del plano complejo, con σ (T) ⊂ U y f(λ )=c_o+c₁λ+c₂λ ²+....+ c_nλ ⁿ+... (λ ∈ U), entonces σ (f(T))=f( σ (T)).

Finalmente si Y es un espacio topológico compacto Hausdorrf y C(Y) denota el espacio de las funciones continua de Y en los número complejos, es conocido que C(Y) tiene una estructura natura de álgebra de Banach donde ||f||=sup{ |f(x)|: x ∈ Y } .

Operadores Autoadjuntos

En el espacio dual B(X)^*, consideremos D={ f ∈ B(X)^* : f(I)=||f||=1 } y definamos para A ∈ B(X) el conjunto V(A)={ f (A) : f ∈ D}. Se dice que el operador A es autoadjunto, si V(A) ⊂ R. Antes de abordar un estudio profundo sobre este tipo de operadores, enunciaremos un lema que facilitará la compresión de los próximos resultados.

Sean A, T ∈ B(X). Si μ=sup{ Reλ: λ ∈ V(A) }, entonces ||T||(1 − αμ) ≤ ||(I−αA)T||.

Por el teorema de Hanh-Banach, existe f ∈ B(X)^* con f(T)=||T||, ||f||=1. Se define el funcional g(B)=f(BT) para todo B ∈ B(X). Es claro que ||g||=||T|| y como g(I)=f(T)=||T|| se deduce que g/||T||∈D y por lo tanto Re(g(A)/||T||)≤ μ . Por otro lado ||(I−αA)T|| ≥|f((I−αA)T)|≥||T||−α|f(AT)| ≥ ||T||−α μ||T||)=||T||(1− α μ). Se deduce que ||(I−αA)T|| ≥ ||T||(1− α μ), que es lo afirmado.

Del resultado anterior podemos deducir que ||T||(1 − αμ)ⁿ≤ ||(I−αA)ⁿT||, para todo número natural n. En efecto, el resultado es cierto para n= 1 y suponemos que vale para n−1. Como ||T||(1 − αμ)ⁿ=||T||(1 − αμ)ⁿ⁻¹(1 − αμ)≤ ||(I−αA)ⁿ⁻¹T||(1 − αμ)≤||(I−αA)(I−αA)ⁿ⁻¹T||= ||(I−αA)ⁿT||. Se deduce lo afirmado.

Demostremos ahora la siguiente proposición:

Si A ∈ B(X), entonces sup{ Reλ: λ ∈ V(A) }=lim_{α →0⁺}α⁻¹(||I+α A||−1)

Sea μ=sup{ Reλ: λ ∈ V(A) }. Si λ ∈ V(A), existe f ∈ D, tal que λ=f(A), luego |λ|=|f(A)|≤||f||||A||=||A||. Esto dice que μ ≤||A||. Dado α > 0, f ∈ D, f(A)=α⁻¹(f(I+α A)−1)), luego Ref(A)=α⁻¹Re(f(I+α A)−1)) y por lo tanto Ref(A)≤α⁻¹(||I+α A||−1) (*) y pasando al límite, se deduce que μ≤lim_{α →0⁺}α⁻¹(||I+α A||−1).

El siguiente resultado es fundamental.

Si A ∈ B(X), entonces

μ=sup{ Reλ: λ ∈ V(A) }=lim_{α →0⁺}α⁻¹(||I+α A||−1)=sup _{α > 0}α⁻¹log||e^{α A}||

Asumamos que A es un operador no nulo. En caso contrario el resultado es evidente. Sea μ=sup{ Reλ: λ ∈ V(A) } y α > 0. Para n suficientemente grande 0< α /n < ||A||⁻¹ y (1 − (α μ)/n) > 0.

Sabemos por un lema previamente demostrado que ||T||(1 − (αμ)/n)ⁿ≤ ||(I−(α/n)A)ⁿT|| y puesto que e^{α A}=lim_{n → +∞}(I−(α/n)A)ⁿ (donde la convergencia es en la norma de los operadores), deducimos que ||T||e^{− (αμ)}≤ ||e^{− α A}T||.

Si T= e^{α A}, entonces ||e^{α A}T||≤ e^(αμ) y tomando logarítmo α⁻¹log||e^{α A}≤ μ.

Por otro lado ||e^{α A}T||=||I+α A||+r(α) (r(α)=α²k (k > 0)).

Usando la desigualdad elemental t− 1≤tlogt (para todo t número real), se deduce que

(α⁻¹(||I+α A||−1 +r(α))/(||I+α A||+r(α) )≤

(α⁻¹(||e^{α A}||−1 ))/(||I+α A||+r(α) )≤α⁻¹log||e^{α A}||, de lo que se deduce que

μ≤sup _{α > 0}α⁻¹log||e^{α A}||.

El siguiente resultado nos da una caracterización de los operadores autoadjuntos.

Si A ∈ B(X) es un operador, son equivalentes: (a) A es un operador autoadjunto (b) 1/α (||I+αi A||−1))=0, para todo α ∈ R (c) ||e^{αi A}||=1, para todo α ∈ R (d) ||e^{αi A}||≤1, para todo α ∈ R

Es claro que el operador A es autoadjunto, si y sólo si, sup{ Reλ: λ ∈ V(iA) }= sup{ Reλ: λ ∈ V(−iA) }=0.

Supongamos que vale (a). Sabemos que lim_{α →0⁺}α⁻¹(||I+α i A||−1)=sup{ Reλ: λ ∈ V(iA) }=0. Por otro lado lim_{α →0}−α⁻¹(||I+αi A)||−1)=− lim_{−α →0}+α⁻¹(||I+(−α)(− i A)||−1)=−lim_{β →0}+β⁻¹(||I+β(− i A)||−1)=−sup{ Reλ: λ ∈ V(−iA) }=0, de lo que se deduce (b). Por un razonamiento similar se demuestra que (b) implica (a).

Veamos que (c) implica (a). Si ||e^{αi A}||=1, para todo α ∈ R; entonces sup{ Reλ: λ ∈ V(iA) }=sup_{α >0}α⁻¹log||e^{αi A}||=0. De manera similar sup{ Reλ: λ ∈ V(−iA) }=sup_{α >0}α⁻¹log||e^{α(−i A)}||=0. Esto asegura que el operador A es autoadjunto.

Para ver que (a) implica (c), observemos que si A es operador autoadjunto, entonces sup_{|α| ≠ 0}α⁻¹log||e^{αi A}||=sup{ Reλ: λ ∈ V(iA) }=0 (* ) y como 1=||I||≤||e^{αi A}||||e^{−αi A}|| ( ** ). Si ||e^{αi A}|| ≠ 1 para algún α∈ R, entonces 1 < ||e^{αi A}||, o 1 < ||e^{−αi A}||, lo que contradice claramente (*). Se deduce que (a) implica (c).

Es claro que (c) implica (d). Para ver que (d) implica (c) basta usar (**).

Como un corolario del resultado anterior, podemos obtener una importante caracterización de los operadores autoadjuntos.

Si A ∈ B(X) es un operador autoadjunto, entonces su espectro σ (A)⊂ R.

En efecto, consideremos el operador U=e^{i A}. Sabemos del resultado anterior, que por ser autoadjunto ||Uⁿ||= ||e^{in A}|| ≤| 1, para todo n entero. Por lo tanto σ (U)⊂ { λ ∈ C: |λ|=1 }. Como U=f(A) donde f es la función entera f(λ)=e^iλ, por el teorema espectral σ (U)= { f(λ) ∈ C: λ ∈ σ (A) } ⊂ { λ ∈ C: |λ|=1 }. Si λ ∈ σ (A), entonces |e^iλ|=1 y por lo tanto | |e^iReλ| |e^−Imλ|=1, esto implica que −Imλ=0, es decir λ ∈ R. Esto prueba lo pedido.

Antes de probar los resultados finales de éste escrito, recordemos que la función

g(t)=Arcosen(t)=∑_n≥0(2n)!/_{4ⁿ(n!)²(2n+1)}t²ⁿ⁺¹ (− 1 < t< 1).

Se prueba por el criterio de Abel que ∑_n≥0(2n)!/_{4ⁿ(n!)²(2n+1)}=π/2.

Si denotamos mediante c_n=(2n)!/_{4ⁿ(n!)²(2n+1)}y definimos por F_n(z)= c₀z+c₁(senz)³+...+c_n(senz)²ⁿ⁺¹, vale el siguiente lema:

Si K ⊂ ( −π/2,π/2) es un subconjunto compacto dela recta real, entonces existe un abierto conexo U en el plano complejo, tal que K ⊂ U y F_n(λ)→λ, para todo λ ∈ U.

No es difícil demostrar que existe un abierto conexo U del plano complejo, tal que K ⊂ U y |senz|≤ 1, para todo z ∈ U.

Usando el M-test de Weirstrass, ∑_n≥0c_n(senz)²ⁿ⁺¹ converge uniformemente en U a una función analítica g. Además g(t)=t=lim_{n →+∞}F_n(t), para todo t ∈K.

Si consideramos la función analítica g(z)−z, para todo z ∈U, deducimos que g(z)−z es constante en U y por lo tanto ∑_n≥0c_n(senz)²ⁿ⁺¹=z, para todo z∈U. Esto prueba el resultado.

Terminamos estas líneas con un resultado sobre los los operadores autuoadjuntos debido a Sinclair.

Si A ∈ B(X) es un operador autoadjunto, entonces r(A)=||A||.

En efecto, sabemos que r(A)≤||A||. Supongamos primeramente que r(A) < π/2, luego σ (A)⊂ ( −π/2,π/2) . Usando el lema anterior y el cálculo funcional, deducimos que

F_n(A)→A= ∑_n≥0c_n(senA)²ⁿ⁺¹, donde la convergencia es en la norma de los operadores.

Sabemos que ||senA||≤|(||e^{i A}||+||e^{−i A}||)/₂≤1, ya que el operador A es autoadjunto. Se deduce que ||A||≤∑_n≥0(2n)!/_{4ⁿ(n!)²(2n+1)} =π/2. Sea ahora el operador autoadjunto B=α(π/2)/_r(A)A (0<α < 1. Es claro que r(B) < π/2, luego || B||≤π/2 y por lo tanto ||A||≤ r(A)/α, de lo que se deduce que A||≤ r(A). Esto termina la prueba.

REFERENCIA

H. R. DOWSON (1978): Operator Theory, Academic Pres INC . London