[수학이야기] 네이비어-스토크스 방정식은 완벽한가?

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

기체나 액체 같은 유체의 움직임을 설명하는 고전 중의 고전, 네이비어-스토크스 방정식 (NS PDE)이, 물리적으로는 현상을 잘 설명하는지는 몰라도, 수학적으로 항상 unique soln (유일해)을 내는가에 대해, 지난 100년 동안 논의가 활발했는데 (심지어는 이 문제는 클레이 재단의 밀레니엄 문제 중 하나다. NS 방정식의 해의 유일성의 유무에 대한 증명 (있으면 있다, 없으면 어느 경우에 없다까지)에 성공하면 백만불을 상금으로 받을 수 있다), NS PDE를 단순화한 형태 (weak solution)에서 마저 uniqueness가 보장되지 않을 수도 있다는 것이 프린스턴의 수학자 두 명에 의해 발견되었다고 한다. 이는 마치, 뉴턴의 방정식을 정확하게 따라 가야할 자연적 현상이, 어느 시점에서는 여러 갈래로 나뉠 수도 있다는 것을 의미하는 것이기도 하다. 예를 들어, 사과 나무에서 사과가 땅으로 떨어지는 현상을 설명한다고 가정해 보자. 이 경우, 사과의 질량과 moment of inertia (관성모멘트), 사과의 높이, 사과 나무의 위도, 만유인력상수 등을 알면, 뉴턴 미분방정식을 계산함으로써, 사과가 땅에 떨어지는데까지 걸리는 시간과 떨어지는 지점을 정확하게 알 수 있다. 그런데, 만약 뉴턴 미분방정식의 해가 두 종류 이상이면, 사과가 떨어지는데 걸리는 시간이 달라질 수도 있고, 시간은 같더라도, 지점이 두 가지 이상이 될 수도 있다. 물론, 둘 다일수도 있다. 양자역학에서 다루는 불확정성의 원리가 통용되는 미시세계였다면, 파동으로서의 identity를 가정하여, 각 이벤트는 발생 확률로 이 현상을 설명할 수 있겠지만, 거시세계에서 보통 이런 경우는, 애초 미분방정식이 현상을 설명하는데 헛점이 있을 수도 있다는 식으로 결론이 난다. 만약, 거시세계에서 통용이 되는 NS PDE의 해가 유일하지 않다면, NS PDE는 우리가 알고 있는 유체의 움직임을 설명하는데 헛점이 있을 수도 있는 것이다.

기사를 읽어 보면, 두 수학자는 NS PDE를 직접적으로 계산한 것은 아니다. 애초에 NS PDE는 손으로 계산하는 것이 불가능한 비선형 편미분 방정식이고, 컴퓨터로 계산하는 것조차 정확성을 항상 담보할 수 없다. 대신, 두 수학자는 NS PDE를 더 단순화한 형태로 만들어서 해를 구했는데, 이 과정에서 정확한 condition을 define한 것 같지는 않고, 편미방 전공의 수학자들이 일반적으로 NS PDE를 계산할 때 사용하던 Lelay solution보다 더 단순화된 (energy inequality의 조건을 적용하여) weak solution을 추출하려고 시도한 것으로 보인다. 그런데 이들이 사용한 weak solution으로 출발하여 NS PDE를 계산했을 시, multiple solution이 나오므로, NS PDE의 해의 유일성은 담보될 수 없다는 것을 암시하기에 이른 것 같다.

NS PDE를 직접적으로 계산하기 어렵기 때문에, 이를 단순화하기 위해 여러 단계를 거치는데, 아마도 이 과정에서 어느 단계에서는 NS PDE의 성립을 보장하는 physical confinement 조건의 위배가 발생하여, solution uniqueness의 보장 가능성이 깨진 것으로 추정된다. NS PDE 역시, 사실상 에너지, 질량, 모멘텀 보존 법칙으로부터 유도되는 물리학적 관찰에 입각한 이론에 기초를 두고 있어서, 이러한 confinement가 깨지면, 해의 유일성이 보장될 수 없다는 것은, 어찌보면 당연한 결론일지도 모르겠다.

박사 과정때, colloidal nanoparticle phase equilibrium을 연구하면서, 다양한 computer simulation tool을 공부했는데, 이 유체의 움직임을 모사하기 위해, Lattice -boltzmann model (LBM)을 활용한
적이 있다. 그 때의 경험으로 추정컨대, 프린스턴 수학자들의 결론을 computer simulation으로 검증해 보려면, Lattice Boltzmann 시뮬레이션에서 cell의 크기와 대칭성을 바꿔 가면서, 에너지 confinement 조건을 건드려 보는 것이 최선일 것 같은 느낌적인 느낌이 듭니다.

여튼, NS PDE에 헛점이 있다면 놀랄만한 발견일 수도 있겠다.