Liczby zespolone, połączenie urojenia z rzeczywistością.

WSTĘP
Liczby wykorzystywane w matematyce dzielą się na pewne grupy. Są to między innymi liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne oraz rzeczywiste. Największym z wymienionych zbiorów są liczby rzeczywiste, jednak jeszcze obszerniejszym od nich są liczby zespolone. Wykorzystują one płaszczyznę zespoloną, a nie oś liczbową, co czyni je dwuwymiarowymi. Płaszczyzna ta jest zbudowana z dwóch osi: pionowej do oznaczania liczb rzeczywistych i poziomej do liczb urojonych. Liczby zespolone nie mające części rzeczywistej, czyli te które leżą bezpośrednio na osi pionowej to liczby urojone, z kolei te pozbawione części urojonej, leżące na osi poziomej, są liczbami rzeczywistymi. Wynika z tego, że zbiór liczb zespolonych zawiera w sobie zbiór liczb rzeczywistych, więc jest on jego rozwinięciem o dodatkową jednostkę urojoną. W zbiorze liczb rzeczywistych nie można wyciągać pierwiastków parzystego stopnia z liczby ujemnej, co jest możliwe w przypadku liczb zespolonych za sprawą wspomnianej liczby urojonej, którą zapisuje się za pomocą jednostki urojonej i. Liczbę i definiujemy następująco: i² = -1 lub i=√-1.

HISTORIA
Jednym z pierwszych matematyków, który zastosował liczby zespolone w swoich obliczeniach dotyczących równań kwadratowych był Heron z Aleksandrii. Kolejnym momentem w historii, kiedy pojawił się temat liczb urojonych był wiek XVI. Miało to miejsce za sprawą Girolamo Cardano, który rozwiązał problem, obrazujący zastosowanie własności liczb zespolonych, który polegał na podziale liczby 10 na dwie części, tak aby ich iloczyn wyniósł 40.
Po zapisaniu układu równań:

otrzymujemy równanie kwadratowe.

Po wyliczeniu delty

oraz wyznaczeniu rozwiązań równania, mimo ujemnej wartości delty, otrzymujemy rozwiązania, które spełniają obydwa warunki.
x1=5-√-15
x2=5+√-15

W pierwszej połowie XVI wieku trwały, także prace nad rozwiązaniem równań trzeciego stopnia. Metodę rozwiązania dwóch typów równań przedstawił Scipione del Ferro wąskiemu gronu osób. W tym samym czasie pracował nad nimi także Niccolo Tartagila. Opracował własne sposoby na rozwiązanie różnych typów równań. Po pewnym czasie przekazał swoje odkrycia Girolamo Cardano, który wraz ze swoim asystentem opracował metodę rozwiązywania równań 3 i 4 stopnia, którą opublikował w traktacie „Ars Magna”. Jednym z ostatnich wybitnych bolońskich matematyków XVI był Rafael Bombelli, który w swojej pracy pt. „Algebra” omawia właściwości liczb zespolonych i ich zastosowanie podczas rozwiązywania równań sześciennych. Wszystkie te interpretacje i metody pozwalające na znalezienie rozwiązania wykorzystywały liczby zespolone w swoich rachunkach, co było w tamtym czasie sprzeczne z powszechnymi zasadami matematyki, jednak pozwoliło to na przełom w tej dziedzinie.

POSTAĆ
Każdą liczbę zespoloną można zapisać na 3 sposoby. Pierwszym z nich jest zapisanie liczby w postaci algebraicznej, czyli sumy dwóch liczb z = a+bi gdzie a i b to dowolne liczby rzeczywiste, a i jest jednostką urojoną. Liczę zespoloną można wyrazić także za pomocą współrzędnych (a,b), które określają położenie tej liczby na płaszczyźnie zespolonej. Kolejną postacią wykorzystywaną w trakcie obliczeń jest postać trygonometryczna, która jest przedstawiana za pomocą długości jej wektora i kąta skierowanego do osi, na której znajdują się liczby rzeczywiste.

RÓWNOŚĆ
Dwie liczby zespolone są równe, gdy ich części rzeczywiste i urojone są równe.
a+bi = c+di, gdy a=c i b=d
MODUŁ I ARGUMENT
W celu obliczenia pewnych wartości, potrzebne jest użycie wektora liczby zespolonej, czyli modułu, który wyraża odległość między liczbą, a początkiem układu współrzędnych i tym samym jest wartością bezwzględną tej liczby. Aby go wyliczyć można skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa, z którego wynika, że wartość modułu wynosi |z|= √a2+b2.
Z kolei argument liczby zespolonej oznacza kąt , który tworzy wektor z osią liczb rzeczywistych. Oznaczamy go jako arg(z)=φ. Dzięki własnościom trygonometrycznym można wyznaczyć a i b, jako iloczyn modułu liczby zespolonej i odpowiedniej funkcji kąta φ.

b = |z| ⋅ sin φ

a = |z| ⋅ cos φ

Po podstawieniu do postaci algebraicznej z=a+bi i wyciągnięciu modułu |z| przed nawias otrzymujemy zapis trygonometryczny liczby zespolonej z= |z| (cos φ + sin φ i).

SPRZĘŻENIE
Sprzężenie liczby zespolonej powoduje odbicie wektora względem osi OX, więc nie zmienia jego wartości, a jedynie argument danej liczby. W przypadku postaci algebraicznej następuje zmiana z zapisu z=a+bi na z=a-bi, w zapisie współrzędnych, także zmienia się tylko znak przed współrzędną b - (a,b) na (a, -b). Jednak podczas sprzężenia liczby zespolonej zapisanej w postaci trygonometrycznej następuje zmiana kąta z φ na kąt o mierze 360°- φ. Liczbę sprzężoną oznaczamy w ten sposób:


Własności dla dowolnych liczb z ∈ C to:

, gdzie Re oznacza część rzeczywista liczby zespolonej

DZIAŁANIA
Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonuje się tak samo jak w przypadku wyrażeń algebraicznych, przy czym trzeba mieć na uwadze fakt, iżi² = -1. Aby podzielić przez siebie dwie liczby zespolone, należy pomnożyć zarówno mianownik i licznik przez liczbę sprzężoną do liczby w mianowniku.
Potęgowanie liczb zespolonych najłatwiej przeprowadzić, gdy są one w postaci trygonometrycznej , ponieważ pozwala to na skorzystanie ze wzoru de Moivre'a. Mówi on, że dla dowolnej liczby z ∈ C zachodzi następująca równość:
( |z| (cos φ + sin φ i) )ⁿ = |z|ⁿ (cos n φ + i sin n φ). Przy pomocy tego wzoru można podnosić liczby zespolone do potęg o dowolnym wykładniku. Z kolei w przypadku pierwiastkowania liczb zespolonych otrzymujemy kilka, różnych wyników. Gdy wyciągamy pierwiastek n-tego stopnia z liczby zespolonej otrzymujemy n rozwiązań. Określa to twierdzenie, które także korzysta z postaci trygonometrycznej:

Przykłady działań:
• dodawanie liczby 2 + 7i oraz 6 + 12i
(2 + 7i) + (6 + 12i) =
2 + 6 + 7i + 12i =
6 + 19i
• odejmowanie liczby 4 - 7i od 16 + 5i
(16 + 5i) - (4 - 7i) =
16 + 5i - 4 + 7i =
12 + 12i
• mnożenie liczb zespolonych (3 + 8i) ⋅ (3 − 7i)
Opuszczamy nawiasy przez wymnożenie zawartych w nich wyrazów.
3 ⋅ 3 + 3 ⋅ (-7i) + 8i ⋅ 3 + 8i ⋅ (-7i) =
9 - 21i + 24i - 56i² =
9 + 3i− 56 ⋅ (−1) =
9 + 56 + 3i=
65 + 3i
Można dostrzec w tym przykładzie, że działając na liczbach zespolonych można uprościć wynik, korzystając z faktu: i² = −1.
• dzielenie liczby 2 + 3i przez 4 - 5i
Wykonując dzielenie liczb zespolonych należy pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną do tej znajdującej się w mianowniku.

=

=

=

=

=

• upraszczanie potęg liczby urojonej iⁿ
Jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 0, to iⁿ=1 np. i¹⁰⁰ 1
Jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 1, to iⁿ=i np. i²⁵ = i
Jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 2, to iⁿ=−1 np. i¹⁸= -1
Jeżeli reszta z dzielenia liczby n przez 4 jest równa 3, to iⁿ=−i np. i³ = -i
• potęgowanie liczby zespolonej (√3 + i)¹²⁰
Potęgowanie liczb zespolonych wykonuje się przy użyciu wzoru de Moivre'a, przy czym liczba musi być zapisana w postaci trygonometrycznej.

Liczbę √3 + i w postaci trygonometrycznej: 2( cos 30° ⋅ sin 30° ⋅ i) należy podstawić do wzoru: |z|ⁿ (cos n φ + i sin n φ)
2¹²⁰ (cos ⋅ 120 ⋅ 30° + sin 120 ⋅ 30° ⋅ i) =
2¹²⁰ (1 + 0 ⋅ i ) =
2¹²⁰

Zadania do wykonania
• dodawanie:
Działanie: (5+6i) + (7- 4i) =
ODP: 12+2i

Działanie: (8 - 3i) + (4 - 11i) =
ODP: 12 - 14i

Działanie: (-7 + 5i) + (4 + 2i) =
ODP: -3+7i

Działanie: (2+2i) + (4 - i) =
ODP: 6+i

Działanie: (-3+5i) + (4 - 8i) =
ODP: 1 - 3i
• odejmowanie:
Działanie: (16 - 8i) - (20+5i) =
ODP: - 4 - 13i

Działanie: (- 8 + 4i) - (8+3i) =
ODP: - 16 + 7i

Działanie: (-7 - 4i) - (- 3 - 10i) =
ODP: - 4 + 6i

Działanie: (12 + 6i) - (-2+5i) =
ODP: 14 + i

Działanie: (25 - 9i) - (16+5i) =
ODP: 9 - 14i
• mnożenie:
Działanie: (2+i)(3-i) =
ODP: 7+i

Działanie: (4+3i)(16+7i) =
ODP: 53+76i

Działanie: (7+3i)(7-3i) =
ODP: 58

Działanie: (6 - 4i)(-5 - 3i) =
ODP: 18+2i

Działanie: (5+4i)(-6 - 7i) =
ODP: - 2 - 49i
• dzielenie:
Działanie: =
ODP:

Działanie: =
ODP:

Działanie: =
ODP:

Działanie: =
ODP:

Działanie: =
ODP:
• potęgowanie:
Działanie: (2+2i)⁴=
ODP: -64

Działanie: (1-√3 )⁴=
ODP: -8+8√3 i

Działanie: (−1+√3i)⁶⁷=
ODP: - 2⁶⁶ + 2⁶⁶ √3 i

ZASTOSOWANIE
Liczby zespolone mają wiele zastosowań w otaczającym nas świecie. Wykorzystywane są między innymi w znajdowaniu pierwiastków wielomianów oraz układów równań w dziedzinie matematyki, fizyki, chemii oraz ekonomii. Używa się ich do analizy sygnałów telekomunikacyjnych i teleinformatycznych. Za pomocą liczb zespolonych opisuje się obwody elektryczne prądu przemiennego, co jest stosowane w automatyce i robotyce. Umożliwiają one implementację fraktali w grafice komputerowej oraz podczas kompresji obrazów. Dzięki liczbom zespolonym możliwy jest postęp w dziedzinie mechaniki kwantowej.

ZAKOŃCZENIE
Podsumowując liczby zespolone to wyrażenia w postaci a+bi, gdzie a, b ∈ R, natomiast i spełnia warunek i²= -1. Zbiór, który tworzą liczby zespolone oznaczamy literą C. Tworzy on płaszczyznę liczbową, na której każdy punkt jest liczbą zespoloną. Mogą być one zapisywane w postaci algebraicznej, trygonometrycznej i w postaci pary dwóch współrzędnych. Możliwe jest wykonywanie wszystkich typów działań matematycznych, co pozwala na użycie ich w równaniach wielomianowych, których rozwiązanie zawsze znajduje się w zbiorze liczb zespolonych. Posiadają wektor, który wyraża odległość od początku układu oraz argument, który przedstawia miarę kąta między wektorem, a osią z liczbami rzeczywistymi. Każda liczba zespolona posiada liczbę do niej sprzężoną, czyli jej odbicie względem osi X. Obecnie są one stosowane w wielu dziedzinach życia, związanych z różnymi obliczeniami, analizą danych oraz planimetrią.

BIBLIOGRAFIA
1. Matematyka. Część 3. Liczby zespolone. Wektory. Macierze. Wyznaczniki. Geometria analityczna i różniczkowa. Autor: Tadeusz Trajdos Wydawnictwo Naukowe PWN 2017
2. Liczby zespolone i algebra liniowa. Autor: Maciej Grzesiak Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej 2015
3. Liczby zespolone, wielomiany oraz rozkłady na ułamki proste. Autor: Wituła Roman Wydawnictwo Politechniki Śląskiej 2010
4. https://www.matemaks.pl/liczby-zespolone.html
5. https://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone
6. https://pl.wikibooks.org/wiki/Liczby_zespolone
7. http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/node9.htm
8. https://www.medianauka.pl/liczby-zespolone
9.