Знаете ли вы, что...

 ...квадрат целого числа N — это сумма первых N нечетных чисел. 

  1^2 = 1

  2^2 = 1+3

  3^2 = 1+3+5

  4^2 = 1+3+5+7

  5^2 = 1+3+5+7+9

  6^2 = 1+3+5+7+9+11

  7^2 = 1+3+5+7+9+11+13

  8^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15

  9^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17

 10^2 = 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 

 и т.д. ... 

Это красивое свойство квадрата легко объяснимо. 

Пусть N — простое число, тогда квадрат следующего целого числа можно представить как (N+1)(N+1) или: 

N^2 + (2N+1)

здесь N^2  — это квадрат предыдущего числа, а (2N+1) — следующее по порядку нечетное число.

Действительно, для N=1, кадрат следущего числа (или 2^2) будет равен 1^2 + (2+1) или 1+3

Для N=2, квадрат следующего (или 3^2) равен 2^2 + (4+1). Но, как было показано выше,  2^2 = 1+3, следовательно:

3^2 = 1+3+5

Для N=3, квадрат следующего (или 4^2) равен 3^2 + (6+1). Но, мы уже знаем, что 3^2 = 1+3+5, следовательно:

4^2 = 1+3+5+7

и т.д.