Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. En esta oportunidad es un honor para mí presentarles este regalo, con el cual fui sorprendio hoy, no es otra cosa que la publicación de un libro intítulado Triada de la Aproximación en el Cálculo Diferencial e Integral, en el mismo tratamos de mostrar el comportamiento numérico como parte fundamental para el estudio y comprensión de algunos conceptos importantes del Calculo Diferencial e Integral. Este libro está enfocado o dirigido a estudiantes, profesionales e investigadores en algunas áreas como física, química, biología, ciencias sociales, humanidades, entre otras áreas, que deseen utilizar algunas de estas herramientoas operacionales de las matemáticas, las cuales son de mucha importancia para el estudio numérico de problemas que no tengan soluciones analíticas explicitas de los modelos de estudio. A continuación les mostraré el contenido del libro y una breve introducción a los temas desarrollados en el mismo.

Iniciemos mostrando el Índice General del Libro

Son muchos los casos que abriga el quehacer de la aproximación matemática desde la antigüedad, uno es el hecho que los círculos conservan una estrecha relación entre su perímetro y el radio pero ¿se conoce con exactitud esa relación o se debe dar una aproximación?, la Biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8 , los egipcios 4(8/9)², Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277 y en China 3,1724; desde el siglo XVII esta relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre π (Pi) que proviene del griego periphereia que se refiere a perímetro, largo fue el camino hasta aceptar a π y fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como un clásico problema de aproximación.

Euclides de Alejandría (325AC - 265AC) precisa en su obra Elementos, los pasos que involucran la aplicación del límite y desarrolla el método de exhaución consistente en doblar el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos hasta la convergencia del procedimiento. Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados y muestra que los perímetros de los polígonos dentro del círculo deben ser más cortos que el círculo, mientras que los de fuera del círculo deben ser más largos que el círculo. Para hacer el cálculo Arquímedes construyó sus polígonos bisecando repetidamente los lados de un hexágono regular para obtener polígonos regulares con 12 lados, 24, 48 y así sucesivamente, los resultado fueron entre 223/71=3,14084 y 22/7= 3,14285.

Georg Von Purbach (1423 - 1461) asume que π =377/120=3.1466 . . . y fue con el desarrollo de la trigonometría a partir del siglo XV con las investigaciones de Adrien Romain (1561- 1615) y Ludolph de Colonia (1539 - 1610) que se obtienen 15 y 32 cifras.

Con el cómputo de π hecho por el matemático inglés William Shanks (1812 - 1882) en 1853 se obtuvo 707 cifras pero cometió un error en el 528^o decimal. En 1949 John Von Neumann (1903 - 1957) con ayuda del ordenador presenta unas 2.037 cifras y con David H. Bailey (1948) se extrajo 29.360.000 cifras.

Cuántas cifras son necesarias y suficientes para una apropiada precisión, cuánto basta para medir el diámetro de una fibra óptica, el espesor aproximado de un vaso capilar cerebral o la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol o más allá, del sol a la nebulosa más lejana; entonces ¿quá necesidad obliga buscar tantas cifras? quizás la necesidad práctica y nunca la resignación a la limitación numérica.

Anticipándose a Isaac Newton (1643 - 1727) y Gottfried Withelm Leibniz (1646 - 1716) Arquímedes de Siracusa (ca 287 - 212 AC ) halla el área de una región debajo de una parábola mediante la suma de los rectángulos producto de la subdivisión en bandas paralelas de igual ancho, tantas como sean posibles a fin de reducir al máximo la exclusión del extremo curvado el cual fue el proceso base para la denominada Integral. Newton hace frente a esta nueva visión de las matemáticas construyendo métodos para calcular áreas y trazar tangentes a curvas que son esencialmente los problemas claves en el Cálculo Diferencial y su estrecha relación con el Cálculo Integral.

El Cálculo Diferencial considera un tópico de suma importancia para las matemáticas, las ecuaciones diferenciales, originarias de la necesidad de modelar sistemas naturales estas irrumpen en modernos campos de la mecánica, astronomía, óptica, medicina y economía entre otros.

De la mano con la complejidad y formalidad que ha representado el estudio de los métodos numéricos y el compromiso académico que ello rige, se abre paso a la intención de un aprendizaje significativo en situaciones donde se desea estudiar e interpretar los efectos que originen cambios en las variables o constantes en funciones de variable real con el uso de la herramienta gráfica y de cálculo Mathematica, en esta oportunidad se usará como asistente para graficar funciones y familias de funciones que manualmente sería una ardua tarea, facilitar el cálculo con alta precisión, hacer cambios en los parámetros generales para estudiar el comportamiento de los resultados y aportar soluciones numéricas y gráficas.

La intención es reconocer lo que el aporte académico y bibliográfico especializado nos ha consolidado, y manipular esas contribuciones en un ambiente de laboratorio de matemáticas donde profesor y estudiante experimenten de manera interactiva, cooperativa y agradable, ideas, conceptos y fundamentos matemáticos.

En general se pretende exponer el comportamiento gráfico y numérico como elementos fundamentales para la comprensión y estudio de la interpolación, la integral y las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Este texto, fue editado por Editorial Académica Española. Quiero aprovechar también la oportunidad para agradecer al Prof. Omar Cordero, por haberme permitido compartir tan bonito trabajo conmigo. A todos mis más sinceras palabras de agradecimiento.

Este texto lo pueden encontrar en el siguiente enlace: Triada de la Aproximación en el Cálculo Diferencial e Integral

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