¿Cómo y para qué calcular raíces de funciones con EXCEL?

No es por nada, pero si tuviese que elegir, el ser humano sería mi figurita favorita de éste planeta. En un principio fue capaz de adaptarse al ambiente, a la vez que fue desarrollando herramientas para ser y estar mejor. Inevitablemente nuestras vidas están rodeadas de estas herramientas, desde el lenguaje hasta la computadora, y necesariamente debemos avanzar junto a ellas si queremos simplificar ciertas tareas cotidianas.

Para un ingeniero, por ejemplo, es muy útil saber implementar la computadora en su área de trabajo porque esto le permite aprovechar el tiempo y obtener mejores resultados. Así, herramientas como Excel, son tan poderosas que no beneficiarse de ellas sería un gran desperdicio. Es por esto que, con este post, te invito a introducirte al mundo de Excel mediante un par de métodos numéricos para el cálculo de raíces de ecuaciones.

Pero primero lo primero...

¿Para qué se calculan las raíces de una ecuación?

Es probable que en algún curso de cálculo o análisis matemático hayas aprendido como calcular las raíces –o las soluciones- de polinomios de hasta 2 grados, pero que -como me ocurrió a mí también-, no entendieras el alcance de lo que estabas haciendo.

Así que veamos:

Producto de sus estudios y observaciones, nuestro amigo Newton enunció que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él. Pero para poder obtener resultados cuantitativos, fue necesario idear un modelo matemático que corresponde con dicho enunciado, y el cual conocemos como la segunda ley de newton: F=ma

Podemos decir entonces que los modelos matemáticos son ecuaciones que resultan útiles para conocer y predecir –en términos matemáticos- el comportamiento de un proceso o sistema. En este caso, el modelo de Sir Isaac se presenta de una forma que no da dolores de cabeza, ya que para conocer uno de los parámetros del sistema, basta con conocer los otros dos. Sin embargo, muchos sistemas tienen variables que no se pueden despreciar y que, por lo tanto, hacen que la ecuación sea algebraicamente más compleja.

Un ejemplo de esto es la siguiente expresión:

Imagen 1 ^[1]

Una ecuación que relaciona la velocidad de un paracaidista (v), con la gravedad (g) , su masa (m), el tiempo (t) y el coeficiente de arrastre (c).

De ésta ecuación se puede obtener fácilmente la velocidad del paracaidista conocidos los demás parámetros. Sin embargo, si se quiere conocer el coeficiente de arrastre para un paracaidista de masa conocida, en un tiempo específico, para alcanzar una velocidad dada, es necesario recurrir a otras técnicas porque es imposible despejar c.

Si escribimos la expresión como:

Imagen 2 ^[1]

Podemos decir que las raíces de dicha función son los valores del coeficiente de arrastre del sistema, que satisfacen la ecuación, o, en otras palabras, que hacen que ésta sea cero. Así podemos ver cómo las raíces de la función simbolizan un dato real y necesario, algo más que el valor de una x en una ecuación que quién sabe qué representa.

Y ahora…

¿Cómo utilizar Excel para lograrlo?

Existen muchos métodos numéricos –muy interesantes, por cierto- para calcular raíces y que pueden ser aplicados en Excel. Sin embargo, hoy les mostraré cómo calcular las raíces con un complemento muy útil y práctico que incluye Excel: Solver.

Es probable que antes de poder usarlo debas activarlo haciendo lo siguiente:

Imagen 3 ^[2]

Ahora que está activado, construimos una tabla con las variables que conocemos, en este caso, los datos del ejemplo del paracaidista.

Tabla 1^[2]

Y otra con la siguiente información:

Tabla 2^[2]

En la celda de c colocamos un valor inicial arbitrario, y en la de f(c) escribimos la expresión del paracaidista, pero sustituyendo las variables independientes por sus valores correspondientes, y seleccionando para c, el valor arbitrario de la casilla de arriba.

Imagen 4^[2]

Yo escogí c=1 y obtuve f(c)=51,14. Pero para que c sea el coeficiente de arrastre que estamos buscando, f(c) debe ser igual a cero. Podríamos cambiar el valor de c hasta conseguir que la función sea cero, pero podríamos envejecer en el intento. Es aquí donde entra al juego el Solver, ésta herramienta hace cálculos iterativos hasta converger a la solución en unos pocos segundos.

Solo tienes que seguir estos 3 pasos:

Selecciona solver en la pestaña de datos

Imagen 5^[2]
Ahora selecciona los parámetros de solver. Nuestro objetivo es la celda que contiene la ecuación, es decir, la de f(c); queremos que nuestro objetivo sea cero, y esto se logrará cambiando el valor del coeficiente de arrastre, c. Luego pincha resolver.

Imagen 6^[2]

Finalmente, verifica que la solución sea coherente y elige si quieres conservar la solución de solver o los valores originales.

Imagen 7^[2]

Como puedes ver, f(c) no se hizo exactamente cero pero se acercó muchísimo, así que nuestra solución es c=14,78

Referencias:

^[1] CHAPRA, Steven; CANALE, Raymond. Métodos numéricos para ingenieros, 5^ta edición. Mc Graw Hill.

^[2] Capturas de pantalla que realicé en Excel y edité con Power Point.