Ecuación de Difusión | Problema de Stefan

Saludos queridos lectores, bienvenidos nuevamente a mi Blog. Cuando hablamos de Matemáticas la primera reacción es de temor, terror, desagrado para las personas que no les interesa el tema, más sin embargo, las Matemáticas es parte fundamental para muchas ciencias y sobre todo de la ingeniería. Estudiar las Matemáticas, requiere hacer uso del razonamiento lógico, para lograr en la práctica el desarrollo del razonamiento riguroso con objetos y estructuras puramente abstractos. Así, en esta oportunidad hablaremos acerca de la Ecuación de Difusión como modelo matemático. Las ecuaciones de convecció--difusión presentan numerosas aplicaciones en Ingeniería y Ciencias aplicadas. Por ejemplo, los procesos de convección natural se modelan a través de dichas ecuaciones. Estos procesos se originan cuando en un fluido se producen variaciones de temperatura, originando variaciones espaciales de densidad, lo que ocasiona que el fluido esté sometido a distintas fuerzas gravitatorias que pueden originar su movimiento. Los procesos de convección natural presentan numerosas aplicaciones en diversas situaciones, por ejemplo, cuando se tratan problemas de climatización en arquitectura, de contaminación marina (las más importantes suceden en la dinámica del océano y la atmósfera), de diseño de ventanas de doble cristal, en mecánica de fluidos, transferencia de calor, finanzas, entre otros. Ahora bien, abordaremos un caso particular de problemas de difusión, denominados problemas de Stefan, los cuales deben su nombre al físico esloveno Josef Stefan, los mismos son ejemplos de problemas con condiciones de contorno libre, para ecuaciones parabólicas, es decir, prroblemas donde la frontera del cambio de fase se desplaza en el tiempo. Este tipo de problema se encuentran fundamentalmente en las transiciones de fase en la materia.

Esta publicación esta dirigida a estudiantes, profesionales e investigadores en específico en el área de las Matemáticas Aplicadas e Ingeniería, y público interesado en estos temas interesantes para el entendimiento de buena parte del medio que nos rodea día a día. Estoy abierto a sus comentarios y dudas que puedan surgir dentro del tema. Sin perder más tiempo, comencemos.

Casi todos los materiales pueden existir en forma sólida, líquida o gaseosa dependiendo de su temperatura y presión. Para la mayoría de los materiales puros bajo un a presión constante tienen una temperatura de fusión prescrita, por encima de la cual la fase sólida se vuelve líquida, y una temperatura de vaporización (o ebullición) por encima de la cual la fase líquida se convierte en gas. Donde también pueden ocurrir otros cambios de fase menos obvios en los que las propiedades del material cambian discontinuamente en una escala de tiempo. Se necesita energía en forma de calor para cambiar la fase de sólido a líquido y de líquido a gas, y el calor se libera en el proceso inverso. La cantidad de energía requerida (o liberada) se denomina calor latente L del cambio de fase. El cambio de fase más simple y más fácil de observar es el de sólido a líquido, y en general esto ocurrirá a través de una superficie en movimiento cuya posición es desconocida y debe ser determinada como parte de la solución del problema para la distribución de la temperatura. Estos problemas se denominan Problemas de Stefan, y surgen en muchas aplicaciones.

Si el cambio de fase entre un sólido y un líquido ocurre en un plano en movimiento dado por x = s(t), con el sólido en x < s(t) como lo podemos apreciar en la figura siguiente,

_{Dominio de un problema de Stefam. Elaborado por @abdulmath.}
entonces las condiciones en la frontera son que la temperatura tanto en la fase sólida como en la fase líquida es la temperatura de fusión T_m, y un balance energético dado por la condición de Stefan

La masa también debe conservarse, y si las densidades de las dos fases son las mismas, lo que es una suposición razonable para la interfaz sólido/líquido pero no para la interfaz líquido/gas, entonces no hay movimiento relativo de las dos fases. Con el sólido en reposo y las diferentes densidades, la velocidad del fluido esta dada por

al aplicar un balance de masa. También se debe conservar el momento, y el balance de momento es necesario para determinar la tensión ejercida por el fluido en el sólido.

Sin movimiento de fluido, T satisface

en ambas fases, y por simplicidad asumiremos que ρ, c y k son constantes con los mismos valores en cada fase. Luego la ecuación (1) y la condición de Stefan, junto con las condiciones de fronteras usuales para un problema parabólico, completan el problema de Stefan:


donde


Esto se interpreta fácilmente como un problema físico sensible, y las dos fases se muestran la gráfica del dominio del problema de Stefan x _vs. t.

Si la fase fluida está bien agitada, o tiene un movimiento turbulento de modo que, al mezclarse, su temperatura es uniforme e igual a la temperatura de fusión, entonces se dice que el sólido es ablating. Para un bloque sólido unidimensional, la temperatura satisface ecuación dada en (1) junto con las condiciones de frontera en x = s(t), que son:

donde Q es la entrada de calor en la frontera de cambio de fase. Esto, junto con las condiciones de frontera dadas por


donde


es un problema de Stefan en una fase. Rubinstein (1971) muestra una discusión detallada de algunos problemas bien planteados de una simple fase y dos fases, pero para los tipos de problemas de Stefan no hay un resultado general de problemas bien planteados y no es difícil construir problemas mal planteados.

---

La solución exacta más simple es que una superficie plana de cambio de fase se mueva con velocidad constante U hacia un fluido a la temperatura de fusión. Luego hay una solución dada en (1) es de la forma siguiente:

que satisface T = T_m en x = Ut.

De la condición Stefan, tenemos que A = L/ρc y para U > 0, T < T_m en el sólido. Para U < 0, en caso de que surja tal situación, entonces T > T_m en la fase sólida y se dice que el sólido está sobrecalentado.

Una solución bifásica con frontera de cambio de fase que se mueve a velocidad constante tiene la misma forma de la ecuación dada en (3), excepto que A se sustituye por A_s en x < Ut y por Aj_l en x > Ut, donde A_s - A_l = L/ρc. Cuando U > 0 es posible tener una nueva situación, es decir, A_s = 0, A_l < 0, cuando el fluido está sobreenfriado.

Para un problema bien planteado, es necesario que la frontera de cambio de fase sea estable a pequeñas perturbaciones, y examinamos la estabilidad del problema de frontera plana en movimiento de una fase prescribiendo una pequeña perturbación periódica en la dirección y normal al movimiento de la frontera. Primero se debe obtener la condición de Stefan

para una frontera no plana definida por F(x, t) = 0. Si la dirección normal de la superficie hacia el fluido es n, entonces un balance de energía proporciona


la cual podemos escribir de la forma

Cuando F = x - s(t) esto reduce a la condición de Stefan, y para F = x-s(t, y) y T = T_m en el líquido, se reduce a

Para una superficie de cambio de fase

donde ε << 1 y n > 0, buscamos una distribución de temperatura


donde para facilitar la manipulación las variables han sido escaladas de manera que k = ρc = 1.

---

Ahora T satisface la ecuación de conducción de calor bidimensional, de modo que

que tiene soluciones de la forma


si m² - n² = σ - mU, y si m > -U las perturbaciones permanecerán pequeñas comparadas con las soluciones no perturbadas para (Ut - x) grandes. La condición T = T_m implica que en x = Ut,


para que LU+a = 0. La condición Stefan de la ecuación dada en (4) implica que en x = Ut,


Eliminando a y sustituyendo σ, obtenemos (m + U)² = n². Con una raíz positiva m + U = n se cumple la condición para Ut - x y σ = -Un.

La superficie plana de cambio de fase es por lo tanto estable a pequeñas perturbaciones si U > 0 cuando el sólido no está sobrecalentado. Con U < 0 y el sólido sobrecalentado la frontera es inestable, y el problema de Stefan está mal planteado. Esta condición de estabilidad, que implica que la frontera libre sólo es estable si la fase sólida se convierte en una región de temperatura constante y no viceversa, es directamente análoga a la estabilidad de la frontera fluida en una celda Hele-Shaw. El problema Hele-Shaw es, sin embargo, más fácil ya que p satisface la ecuación de Laplace y no la ecuación de difusión bidimensional. El resultado es que la frontra sólo se mueve establemente en la dirección de disminución de la presión es sin embargo idéntico.

En muchos procesos de fabricación, las placas de acero dulce deben soldarse con gran precisión y puede ser necesario un número considerable de soldaduras, como por ejemplo en la fabricación de una carrocería de automóvil. Una manera conveniente de hacer una soldadura individual es aplicar dos electrodos a cada lado de las placas como lo mostramos en la figura siguiente, y pasar una corriente. La corriente proporcionará una fuente de calor volumétrica en las placas que derretirá parte del metal después de que haya transcurrido un tiempo suficiente. Así se formará una pelotita fundida, ya que claramente el metal estará más frío en las caras expuestas. Cuando la pelotita es lo suficientemente grande como para formar una soldadura lo suficientemente fuerte, pero no tan grande como para que el metal fundido esté en contacto con el electrodo, la corriente se desconecta. Este procedimiento de soldadura puede ser automatizado y es importante establecer el tiempo de soldadura en función de las propiedades del material y de la corriente aplicada. El problema es tridimensional, posiblemente con simetría axial sobre el eje de los electrodos si tienen sección transversal circular. Sin embargo, para simplificar, consideraremos un modelo unidimensional que dará una buena aproximación al espesor de la pelotita en su centro si el espesor b de las placas es significativamente menor que el radio del electrodo.
_{Modelo de soldadura en dos placas de acero. Elaborado por @abdulmath.}

La temperatura T satisface la ecuación de conducción de calor con un término fuente Q = RI², donde R es la resistencia local que puede depender de la temperatura e I es la magnitud de la corriente local. Sin embargo, si se utiliza una corriente alterna y los electrodos tienen una gran inductancia constante, la amplitud de la corriente es esencialmente constante. Además, la escala de tiempo del proceso de soldadura es mucho más largo que el tiempo del ciclo de corriente alterna, de modo que el valor cuadrado medio de la corriente proporciona la fuente de calor y puede ser tomado como constante. Para el acero dulce por debajo de unos 400 °C, la resistencia aumenta con la temperatura, pero por encima de 400 °C se mantiene aproximadamente constante. Por lo tanto, habrá un problema inicial en el que el metal se calentará rápidamente hasta los 400 °C debido al creciente término fuente; también los transitorios de corriente y la resistencia del aire entre las placas, y los electrodos y las placas, complicarán este problema inicial. El interesante rango de temperatura está por encima de los 400 °C, y se modelará el problema con una temperatura inicial que está por encima de los 400 °C y asumiremos que el tiempo que se tarda en alcanzar este estado es pequeño y puede ser estimado. Es probable que las conductividades térmicas en las fases de fusión y sólida sean muy diferentes, pero para simplificar el análisis haremos caso omiso de ello, aunque podría incorporarse de forma directa.

Con variables no dimensionales tales que las placas son de espesor 1, la difusividad es 1, y

entonces u satisface


donde

Por simetría la derivada parcial de u con respecto a x en x = 0 donde las placas se tocan; e inicialmente en t = 0, u = g(x)<0. En x = 1, la cara de la placa que toca un electrodo, la condición de frontera será la continuidad de la temperatura y el flujo de calor hacia el electrodo. Para evitar tener que analizar la distribución de la temperatura en el electrodo, se determina un coeficiente empírico de transferencia de calor H. Esto nos da la condición de frontera

donde f es la temperatura media del electrodo. Para completar el problema se requiere una condición en la frontera de cambio de fase u = 0, y la condición de Stefan en estas variables es,


donde


es el número de Stefan.

Este problema del valor en la frontera se puede mostrar en una gráfica x _vs t como el que mostramos a continuación, pero este no está bien planteado.

_{Dominio para el problema de soldadura. Elaborado por @abdulmath.}

Una simple ilustración de la falta de positividad de este modelo es considerar la partícula que primero alcanza la temperatura de fusión u = 0. Será en x = 0, y para cambiar su fase tiene que adquirir una cantidad de calor λ para aumentar su entalpía o calor total. Dado que la partícula está en el punto más caliente, no puede recibir calor por conducción, y recibe calor sólo de la fuente de calor. Adquirir una cantidad de calor λ a una velocidad q tomará un tiempo λ/q y su temperatura allí permanece constante, igual a cero, durante este período de tiempo. Por lo tanto, debe existir una región de temperatura constante en el plano, en la cual el material no es totalmente sólido ni fundido, llamada región blanda. Por lo tanto, el cambio de fase no tiene lugar de forma discontinua.

Queridos amigos y lectores, espero hayan disfrutado de una nueva publicación donde las matemáticas tienen sus aplicaciones en otros campos de la ciencia los cuales son de mucho interés en general. Espero que la misma haya sido de su agrado, y pueda servir de una ventana de apoyo para visualizar las estrechas relaciones que existen en particular entre las ciencias, así como se puede contextualizar las mismas teorías en la ingeniería, gracias por tomar un poco de su tiempo y poder disfrutar un poco más del maravilloso mundo de las matemáticas y las ciencias básicas. No olviden dejar sus comentarios. Saludos y nos leemos pronto.

Si desean consultar un poco más del tema pueden usar las siguientes referencias:

1. Bender, C. M. and Orszag, S. A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. McGraw-Hill, New York. 1978.
2. Courant, R. and Hilbert, D. Methods of mathematical physics, vol. I. Interscience, New York. 1976.
3. Landau, L. D. and Lifshitz, E. M. Fluid mechanics. Pergamon, London. 1963.
4. Stakgold, I. Green's functions and boundary value problems. Wiley-Interscience, New York. 1979.
5. Rubinstein, L. I. The Stefan problem. American Mathematical Society, Providence. 1971.

La imagen de fondo de la portada es una imagen de libre uso tomada de Pixabay y editada con GIMP por @abdulmath. Las imágenes son todas de libre uso, tomadas de Pixabay y editadas y tratadas con GIMP. Los títulos, imágenes, separadores y las ecuaciones fueron creadas y editadas por @abdulmath usando software libre, LaTeX2e, Inkscape y GIMP.

●●●