ABORDAJE DIDÁCTICO DE LOS EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN PROVOCADOS EN ESTRUCTURAS DEBIDO A CARGAS LATERALES PROVENIENTES DEL SISMO. PARTE I

Saludos a la comunidad científica de #steemstem, madre de la subcomunidad de #stem-espanol de la cual tengo la gran responsabilidad de ser colaborador del Área de Ingeniería. En esta oportunidad retomo los temas asociados a la Ingeniería Sismorresistente, comenzando así una serie de publicaciones que buscan profundizar en aquellos efectos de segundo orden que pueden influir en la conducta de la estructura ante cargas sísmicas, para entrenar el sentido crítico sobre el hecho de cuando es conveniente su inclusión en el análisis sismorresistente. Bajo el lema de “educar más allá de los muros del aula” disfrutemos de la lectura de esta publicación.

INTRODUCCIÓN

El comportamiento inelástico de una estructura como respuesta a las cargas sísmicas a la que es sometida, puede ser influenciado por efectos de segundo orden, representados por fuerzas y momentos que surgen como consecuencia del desplazamiento lateral de la misma. En ese sentido, el fin de esta publicación es comprender de manera conceptual y cualitativa esta situación, valiéndonos de los aportes de la Estática en el planteamiento de ecuaciones y del desarrollo de modelos a escala para hacer didáctica la presentación de las ideas. En la siguiente imagen se ilustran las nociones generales de los contenidos que estaremos estudiando:

Imagen N°01: ideas generales de los contenidos a abordar

Fuente: @eliaschess333, año: 2019. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. Las imágenes que se muestran fueron capturadas con mi dispositivo tablet VIT - T4000.

Es importante señalar que el estudio de los efectos de segundo orden es realmente extenso, por lo que es necesario delimitar los aspectos de mayor relevancia que abordaremos en este post.

DELIMITACIÓN DE LA TEMÁTICA A ESTUDIAR Y NOCIONES CONCEPTUALES

El sistema estructural se concibe con un grado de libertad estático y un grado de libertad dinámico producto de las propiedades de inercia y de área del elemento vertical encargado de aportar la rigidez lateral, las cuales se aprecian en la imagen N°02. Recomiendo la revisión de la referencia N°05 para que afiances estos conceptos básicos de la Dinámica Estructural. En lo que respecta a la respuesta del sistema estructural ante carga lateral proveniente de la acción sísmica, supondremos que obedece a un modelo de comportamiento elástico-perfectamente plástico, en el cual el punto de cedencia lo representan las coordenadas de fuerza y desplazamiento cedente, simbolizadas en el esquema conceptual de la imagen N°03 como “Fe” y “Δy” respectivamente. Se hace hincapié en este punto, puesto que antes de alcanzar los valores representativos de estas variables la estructura se encuentra en un rango de comportamiento elástico, y una vez dichos valores son alcanzados comienza el comportamiento plástico. Significa que “Fe” puede ser visualizada como esa fuerza efectiva que la estructura puede resistir para mantenerse en un rango de comportamiento elástico.

¿Qué pasaría @eliaschess333 si ya no se puede resistir esa fuerza?

Esta situación se ilustra en el gráfico de color “púrpura” del esquema conceptual de la imagen N°03. No poder resistir esta fuerza significa que ante la acción sísmica la cedencia ocurrirá de forma prematura, puesto que hay una apreciable disminución de la rigidez, poniendo en juego la ductilidad que se pueda desarrollar, es decir, el nivel de incursión en el rango de comportamiento inelástico, aspecto que estaremos estudiando en la parte II de esta publicación de una forma cuantitativa con ayuda de la herramienta computacional NONLIN V 7.14. En los gráficos que se encuentran en la imagen N°03 podemos notar que esta incursión temprana en el rango de comportamiento inelástico asociada a una disminución de la rigidez efectiva, es por la inclusión en el análisis sismorrresistente de los efectos de segundo orden también conocidos como “P- Δ”. De allí a que sea muy importante agudizar el sentido crítico para saber los casos en los que estos efectos se deban o no incluir en el análisis.

@eliaschess333 y ¿por qué se le llaman efectos “P- Δ”?

Porque esta incursión temprana en el rango de comportamiento inelástico, se debe a la interacción entre el desplazamiento “Δ” y el peso “W” que estratégicamente podemos representar como una carga puntual “Pg” tal como se aprecia en la imagen N°03; donde se coloca la letra “g” al lado de la “P” para resaltar que es una fuerza que surge producto de la gravedad, y que normalmente en la bibliografía especializada se coloca simplemente “P”, de allí a que comúnmente se haga referencia a efectos “P- Δ”. La incidencia de estos efectos se acentúa cuando se tienen casos de estructuras con gran altura, lo que redunda en la flexibilidad de la misma; por ello estaremos construyendo un par de modelos a escala donde esta variable es enaltecida, para realzar condiciones opuestas entre sistemas estructurales de baja y elevada altura “h” (ver imagen N°02), siendo por lo tanto el objetivo general de esta publicación: comprender de forma conceptual y cualitativa la importancia de la inclusión de los efectos “P- Δ” en el análisis inelástico de una estructura. Los pasos para lograr con esta meta son:

• Desarrollar modelos a escala para la presentación de los casos de estudio.

• Deducir la ecuación que permite la estimación de la rigidez efectiva cuando los efectos “P- Δ” son considerados.

• Estudiar de forma cualitativa la interacción entre las variables de peso, rigidez y altura en la intensificación o disminución de los efectos “P-Δ”.

Cada uno de estos objetivos específicos constituye los tópicos en los que se estructura esta publicación, así que avancemos en el desarrollo de cada uno de ellos.

DESARROLLO DE MODELOS A ESCALA PARA LA PRESENTACIÓN DE LOS CASOS DE ESTUDIO

Este es una de las actividades más entretenidas al momento de preparar mi publicación, puesto que es necesario ponerse creativo para la elección de los materiales que intervienen en el proceso de plasmar las ideas asociadas a la temática en estudio. En la siguiente imagen se ilustran los materiales utilizados y los distintos sistemas estructurales que se idealizaron.

Imagen N°02: materiales utilizados y representación de los modelos a escala construidos

Fuente: @eliaschess333, año: 2019. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. Las imágenes que se muestran fueron capturadas con mi dispositivo tablet VIT - T4000.

Tal como se explicó en el tópico anterior, se presentan dos casos de sistemas estructurales en los que la altura “h” es la diferencia, lo cual influye en las propiedades dinámicas de los mismos especialmente en el período natural “Tn”.

DEDUCCIÓN DE LA ECUACIÓN QUE PERMITE LA ESTIMACIÓN DE LA RIGIDEZ EFECTIVA CUANDO LOS EFECTOS “P- Δ” SON CONSIDERADOS

Para lograr con este cometido tomemos como referencia el sistema estructural de la imagen N°03, el cual representa una captura de los desplazamientos que este puede tener en el tiempo, considerando en este caso el desplazamiento que inicia la cedencia “Δy”, como consecuencia de una fuerza lateral producto de la acción del sismo. En la referencia N°04 a través del concepto de fuerza estática equivalente se justifica la actuación de dicha fuerza en la masa.

Imagen N°03: variables de estudio en la comprensión de los efectos “P-Δ”

Fuente: @eliaschess333, año: 2019. Nota: esquema conceptual elaborado por el autor, con ayuda de las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint. Las imágenes que se muestran fueron capturadas con mi dispositivo tablet VIT - T4000.

Tal como se aprecia en el esquema conceptual de la imagen N°03, el sistema estructural lo consideramos empotrado en la base, por lo que al hacer momento en ese punto desde la óptica de considerar los efectos de segundo orden “P-Δ”, es importante comprender la estática involucrada en el problema. Es decir, hay una fuerza lateral “Fe” que tiene un brazo de acción “h”. Pero también la masa al ser multiplicada por la gravedad, origina una fuerza puntual “Pg” cuyo brazo de acción está representado por el desplazamiento “Δy”. Basado en lo anterior expuesto, desarrollemos la ecuación que permite obtener el momento “M” que se está produciendo en la base producto de la interacción de estas fuerzas:

Despejamos de la expresión N°01 el término resaltado en color “rojo” para obtener el momento que actúa en la base:

El término resaltado en color “azul” en la ecuación N°01 puede ser considerado como un momento de segundo orden, es decir, un efecto colateral derivado del desplazamiento lateral de la estructura. Al despejar “Fe” de esta ecuación se obtiene lo siguiente:

Esta fuerza lateral “Fe” al incluir los efectos de segundo orden es la fuerza efectiva que puede soportar el sistema estructural, la cual basados en la ecuación N°02 disminuye por el incremento de la altura “h” cuya consecuencia para los fines de esta publicación está representada por una incursión más rápida en el rango de comportamiento inelástico con respecto al caso donde no se consideren los efectos “P-Δ”. Esta incursión prematura en el rango de comportamiento inelástico se debe a una disminución de la rigidez efectiva que mantiene a la estructura en el rango de comportamiento elástico, por tal razón el término resaltado en color “rojo” en la ecuación N°02, es interesante expresarlo en función de la variable rigidez “K”, presentando en primera instancia la ecuación que la define:

Despejamos “Fe” de la ecuación N°03:

Por lo que el momento se puede expresar del siguiente modo:

Al sustituir la ecuación N°05 en la N°02 obtenemos:

Rescribimos sacando factor común “Δy” y separando en fracciones:

La “h” del término resaltado en color “naranja” de la ecuación N°07 se pude simplificar:

La ecuación N°08 se puede rescribir sacando “K” del paréntesis, para tal fin el término resaltado en color “púrpura” se divide por la variable asociada a la rigidez lateral “K”:

Notemos que en la ecuación N°09, si lo resaltado en color “rojo” no se considera, esta ecuación sería idéntica a la N°04. Resulta que lo así resaltado es una especie de factor que disminuye la rigidez lateral “K”, y que resalta la influencia del peso “Pg”, lo cual da pie a los estudios de los efectos de segundo orden. El caso crítico es cuando lo encerrado en paréntesis da “cero”, puesto que es un indicativo que no hay una rigidez efectiva para oponerse a los desplazamientos, es decir, la estructura sería inestable.

ESTUDIO DE FORMA CUALITATIVA DE LA INTERACCIÓN ENTRE LAS VARIABLES DE PESO, RIGIDEZ Y ALTURA EN LA INTENSIFICACIÓN O DISMINUCIÓN DE LOS EFECTOS “P-Δ”

El abordaje conceptual realizado a las ecuaciones del tópico anterior, permitirá orientar los análisis cualitativos que desarrollaremos en base a los modelos a escalas realizados. Disfrutemos del siguiente recurso audiovisual:

Video N°01: influencia del “Tn” en la intensificación del efecto “P-Δ”

Fuente: @eliaschess333, año: 2019. Nota: video elaborado por el autor con ayuda de las herramientas computacionales Camtasia Studio 8, Adobe Audition 3.0. Las capturas de video fueron realizadas con mi dispositivo Tablet VIT-T4000, y las mismas estuvieron a cargo de @monserratt3. Los esquemas conceptuales que se presentan fueron elaborados por el autor con las herramientas Microsoft PowerPoint y Paint.

Se observa como el efecto “P- Δ” se puede agudizar por la presencia de una baja rigidez, es decir, períodos naturales elevados, lo cual es consecuencia directa de la altura del sistema estructural.

CONCLUSIONES

El análisis sismorresistente de las estructuras, se hace con la intención de que estas sean preparadas para que ante la ocurrencia del sismo tengan un adecuado desempeño; es por ello que es importante prever aquellas situaciones que puedan influir negativamente hacia ese hecho, siendo una de ellas los efectos de segundo orden, abordados en esta publicación de forma cualitativa y conceptual, y de los que se extraen las siguientes conclusiones:

1.- En los sistemas estructurales de baja rigidez, es decir, con valores altos de período natural “Tn”, los efectos de segundo orden ejercen una gran influencia en relación a aquellos sistemas más rígidos (períodos naturales bajos); de allí a que en el primero de los casos sea oportuno considerar tales efectos.

2.- Entre dos sistemas estructurales que difieran únicamente en la altura “h”, la inclusión del efecto “P-Δ” puede ser crucial en la estabilidad del sistema más alto, lo cual es una idea que se afianza en la ecuación N°02.

3.- En los sistemas estructurales de elevada altura, es importante analizar las consecuencias que puede traer la incursión temprana en el rango de comportamiento inelástico. En tales casos, el análisis puede conllevar a propuestas de diseño para garantizar un adecuado desempeño ante esta situación.

4.- El hecho que tengamos el caso de un edificio alto, no significa que esté condenado a fallar por efectos de segundo orden al ser sometido a una carga sísmica. Estos son análisis que se hacen para detectar por medio de simulaciones si la estructura en cuestión tiene peligros de inestabilidad a consecuencia de tales efectos, y a partir de allí realizar las acciones de diseño que sean pertinentes, como por ejemplo hacer más rígido el sistema.

5.- En relación a las líneas resaltadas de la anterior conclusión, y basados en la ecuación N°09, tenemos que si el peso “Pg” iguala o supera al producto de la altura “h” y la rigidez lateral “K” el sistema sería inestable. De allí a que una acción para mitigar tales efectos de segundo orden, es la de hacer más rígido al sistema estructural.

En la parte II de esta publicación, abriremos las puertas al uso de la herramienta computacional NONLIN V 7.14 para afianzar todas estas ideas de una forma cuantitativa. Espero que hayas disfrutado de los contenidos de este post. Escribió para ustedes:

@eliaschess333

FUENTES DE INFORMACIÓN CONSULTADAS

1.- CHOPRA ANIL K.DINÁMICA DE ESTRUCTURAS. CUARTA EDICIÓN. PEARSON EDUCACION, MEXICO 2014.

2.- PAZ MARIO. DINÁMICA ESTRUCTURAL TEORIA Y CÁLCULO. EDITORIAL REVERTE ESPAÑA 1992.

3.-PAULAY T AND PRIESTLEY M. SEISMIC DESIGN OF REINFORCED CONCRETE AND MASONRY BUILDINGS. JOHN WILEY AND SONS, NEW YORK. 1992.

LECTURAS RECOMENDADAS

4.- @eliaschess333 (2018). APRENDIENDO A CONSTRUIR UN ESPECTRO DE RESPUESTA ELÁSTICO A PARTIR DE LA EXCITACIÓN SÍSMICA DE SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD. APLICACIONES EN LA INGENIERÍA SISMORESISTENTE. Disponible en: https://www.steemstem.io/#!/@eliaschess333/aprendiendo-a-construir-un-espectro-de-respuesta-elastico-a-partir-de-la-excitacion-sismica-de-sistemas-de-un-grado-de-libertad

5.- @eliaschess333 (2018). COMPRENDIENDO LAS APLICACIONES DE LAS MATEMÁTICAS EN LA ESTIMACIÓN DEL PERIODO Y FRECUENCIA NATURAL DE UN PÓRTICO PLANO. CASO: SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD. Disponible en: https://www.steemstem.io/#!/@eliaschess333/comprendiendo-las-aplicaciones-de-las-matematicas-en-la-estimacion-del-periodo-y-frecuencia-natural-de-un-portico-plano-caso

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