Análisis Matemático del Crecimiento de la Oferta Monetaria de Bitcoin (Desentrañando los secretos de Bitcoin)

En el presente artículo se analiza desde un enfoque matemático el incremento de la oferta monetaria de bitcoin en el tiempo, este incremento es controlado por un algoritmo de precisión matemática que se encarga de la creación de los nuevos bitcoins mediante un proceso denominado “prueba de trabajo”, actualmente se crean 12,5 BTC cada 10 minutos aproximadamente, sin embargo, esto no ha sido siempre así, originalmente cada 10 minutos se creaban 50 BTC, alrededor de cada 4 años ocurre un proceso denominado HALVING en el cual la recompensa por bloque minado se reduce a la mitad.

Visto desde esta perspectiva la recompensa por bloque tiende a reducirse con el tiempo, la siguiente ecuación permite calcular la recompensa por bloque dependiendo de cuantos halvings hayan sucedido.

Actualmente han sucedido dos halvings por lo tanto al aplicar la formula se obtiene

Lo cual corresponde a la recompensa que se genera aproximadamente cada 10 minutos al encontrar el bloque, teniendo en cuenta que los halvings suceden cada 210.000 bloques, se puede establecer la siguiente relación para calcular el suministro total de bitcoin en función de la altura de bloque antes de que ocurriera el primer halving:

Esta fórmula funciona porque durante este periodo se generaban 50 BTC por bloque, sin embargo, luego del primer halving la formula debe tener en cuenta que ya han sido creados 10.500.000 BTC, y que en cada bloque a partir del 210.000 se crean 25 BTC, es decir:

Aplicando el mismo razonamiento luego del segundo halving se cumple:

Equivalente a

Agrupando todo esto en una función definida a trozos y agregando los siguientes casos se obtiene:

El protocolo bitcoin debe realizar 32 halvings antes de dejar de generar nuevos bitcoins, por lo tanto los puntos suspensivos se usan para abreviar todos estos resultados, la función mostrada anteriormente se puede generalizar mediante el uso de la siguiente serie finita:

Es decir

Ahora se simplifica aún más utilizando conceptos matemáticos, se puede apreciar que en la formula obtenida

La primera parte del lado derecho corresponde a una sumatoria que conforma una progresión geométrica de la forma

Donde

La fórmula para calcular la sumatoria de los términos de una serie geométrica finita es la siguiente

Aplicada a la serie en cuestión se obtiene

Al sustituir en la fórmula del suministro

La variable halving depende de la altura de bloque de acuerdo a la siguiente relación

Donde la función floor() se usa para redondear al entero más cercano por defecto (también llamada función parte entera). Debido a esto se establecen las siguientes tres fórmulas principales:

Resumen de Fórmulas --- Fuente: Elaboración propia

Sustituyendo la segunda fórmula en la tercera se obtiene

Fórmula Unificada --- Fuente: Elaboración propia

Con estas expresiones, se puede calcular el suministro de bitcoins dependiendo de la altura de bloque que haya alcanzado la blockchain de bitcoin, incluso funcionan para el bloque génesis (0) como se demuestra a continuación

Lo que significa que en el bloque 0 el suministro total es de 50 BTC, al aplicar estas fórmulas a un bloque reciente el bloque 507.841 se obtiene

El valor obtenido es casi igual a la cifra mostrada en coinmarketcap como suministro 16.847.925 BTC, la ligera diferencia (0,0006%) se debe a errores de sincronización, al hecho de que la recompensa del bloque génesis (50 BTC) no puede ser gastada por lo tanto no se cuenta como circulante y a bloques en los cuales los mineros decidieron reclamar una recompensa menor a la que les correspondía.

---

Suministro de Bitcoin --- Fuente: Coinmarketcap

ANÁLISIS EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

---

El análisis anterior se basa en la altura de bloque para calcular la oferta de monetaria, en relación al tiempo tomando como referencia un bloque reciente, el bloque 507.841 el cual fue encontrado el 05/02/2018 a las 7:45:36 pm, ¿Cuánto tiempo ha transcurrido desde el bloque génesis?, el bloque génesis fue generado el 03/01/2009 a las 6:15:05 pm, restando ambos tiempos se obtiene la siguiente diferencia

Debido a que la minería genera un bloque aproximadamente cada 10 minutos, se generan 6 bloques cada hora y 144 cada día, entonces en el tiempo mostrado arriba se generan

Sin embargo, se han generado 507.841 bloques lo cual representa un incremento de 6,23% (29.770 bloques) respecto al número de bloques que deberían haber sido minados según las reglas del protocolo bitcoin, este % adicional se debe a que en diversos momentos han ocurrido aumentos significativos de la potencia minera de la red repentinamente generándose muchos bloques en ese período. A continuación se analiza año por año la cantidad real de bloques minados y la cantidad aproximada según las reglas del protocolo para comprender en cuales períodos ha habido incrementos significativos de la actividad minera.

Se construye la siguiente tabla de referencia

Tabla N° 1 Bloques Minados por año --- Fuente: Elaboración propia, datos recopilados de Blockchain.info

En la tabla anterior se observa la cantidad de bloques que han sido minados cada año, se puede apreciar que en los años 2009 y 2010 el ritmo de generación de bloques era un poco lento razón por la cual se generaban menos bloques de lo que estipula el protocolo, esto se debe a la poca cantidad de mineros que había en ese momento y al hecho de que muchos dejaban de minar al poco tiempo de comenzar, sin embargo, en los años posteriores se produjo un aumento considerable de la cantidad de mineros y por lo tanto de bloques minados, debido a esto para el 03/01/2018 la cadena de bloques estaba 29.072 bloques adelantada a lo que debería haber sido su ritmo natural de producción.

---

En conclusión partiendo de las condiciones básicas que establece el protocolo se pudieron establecer un conjunto de fórmulas que describen la evolución de la recompensa y el suministro de bitcoins en función de la altura de bloque, en relación al suministro en función del tiempo se puede predecir solo de forma aproximada debido a que las variaciones en la potencia de la red generan diversos cambios sobre los valores ideales de generación de bitcoins.