Tenseur
Les tenseurs sont des objets mathématiques qui se transforment d'une manière particulière lorsque les vecteurs de base changent
Un tenseur de rang 1 est un vecteur.
Choisissons de nouveaux vecteurs de base.
Nous décrivons généralement un vecteur par combien de chacun des vecteurs de base nous devons ajouter pour construire le vecteur. Les coordonnées du vecteurs sont (4,2,6).
Mais il y a aussi une autre façon de repérer ce vecteur. En prenant le produit scalaire du vecteur avec chacun des vecteurs de base.
Contravariant
Décrivons le vecteurs par ces coordonnées
Ici, le vecteur a les composantes 4, 2 et 6.
Supposons que nous doublons la longueur de chacun des vecteurs de base
Les composants de ce vecteur sont maintenant 2,1 et 3, ce qui signifie que les composants ont diminués.
Quand nous avons augmenté les longueurs des vecteurs de base, les composants de notre vecteur ont diminués.
Si nous diminuons les longueurs des vecteurs de base, les composantes de notre vecteur augmentent.
Ces deux quantités changent à l'inverse l'une de l'autre, ce sont les composantes contravariants du vecteur.
Décrire un vecteur en termes de composantes contravariants est la façon dont nous décrivons habituellement un vecteur.
Covariant
Supposons que nous décrivons plutôt le vecteur en termes de son produit scalaire avec chacun des vecteurs de base.
Si les vecteurs de base sont de longueur 1, alors le résultat de ces produits scalaires sera ces trois longueurs.
Si nous doublons la longueur d'un vecteur de base, alors son produit scalaire associé doublera également
Lorsque nous augmentons la longueur des vecteurs de base, les produits scalaires augmentent également
Lorsque nous diminuons les longueurs des vecteurs de base, les produits scalaires diminuent également
Ces deux quantités varient de la même manière, ce sont les composantes covariants du vecteur.
Indice et exposant
Pour distinguer la variable covariant de la variable contravariant, nous utilisons les exposants et les indices
covariants
Contravariants
Produit contravariant
Supposons que nous avons deux vecteurs différents.
Appelons le premier vecteur V et le deuxième vecteur P, et continuons toujours à utiliser ces noms, même si les vecteurs de base changent
Supposons que l'on multiplie l'un des composants contra variant de V par l'un des composants contravariants de P
Si nous considérons toutes les manières possibles de le faire, nous obtiendrions une matrice
Ceci est un exemple d'un tenseur de rang 2 avec deux valeurs exposants contravariants
Produit covariant et contravariant
Supposons que nous multiplions les composants covariants de V avec des composants de contravariant de P
Cela nous donnera une description différente du même tenseur de rang 2, avec une valeur d'indice covariant et une valeur d'indice contravariant
Produit covariant et covariant
Supposons que nous multiplions maintenant deux composantes covariants de chacun des deux vecteurs
Cela nous donnera une description différente du même tenseur de rang 2, avec deux valeurs d'indice covariants
Tenseur rang 1
Un tenseur de rang 1 est un vecteur
Un tenseur de rang 1 a un nombre associé à chacun des vecteurs de base
Tenseur rang 2
Dans un tenseur de rang 2, au lieu d'associer un nombre à chaque vecteur de base, on associe un nombre à chaque combinaison possible de deux vecteurs de base
Tenseur rang 3
Dans un tenseur de rang 3, nous associons un nombre à chaque combinaison possible de trois vecteurs de base
Un tenseur de rang 3 peut être composé des combinaisons de composants de trois vecteurs
Nous pouvons créer une description différente de ce tenseur en utilisant différentes valeurs indices contravariants et covariantes pour le composant des trois vecteurs
Ce cours d'introduction vous permettra de mieux comprendre les tenseurs lors de sont utilisation dans la relativité restreint ou générale.
Les illustrations et les explications sont tirés de la vidéo youtube :
et de l'article :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Covariant_et_contravariant_(alg%C3%A8bre_lin%C3%A9aire)