SLC-S22W3 | Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Saludos amigos steemians.

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Un sistema de ecuaciones hace referencia a un conjunto de ecuaciones simultáneas para las cuales se buscan soluciones comunes; estas se encuentran interrelacionadas y deben cumplirse al mismo tiempo.

Los sistemas de ecuaciones son importantes porque permiten resolver problemas que involucran múltiples variables y restricciones. Son herramientas poderosas para modelar y resolver situaciones del mundo real que implican interacciones complejas entre diferentes cantidades.

Explicar la diferencia entre sistemas de ecuaciones lineales y no lineales. Dar ejemplos de cada tipo de sistema de ecuaciones y describir sus formas generales.

Un sistema de ecuaciones lineales es aquel que cuenta con de dos o más ecuaciones en las que cada ecuación su mayor exponente es 1; es decir que su representación gráfica vienen a ser líneas rectas.

Su forma general es la siguiente:

ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0

Donde a, b, c, d, e y f son las constantes. Por ejemplo:

3x - 2y = 4
2x + y = 3

El sistema de ecuaciones lineales se caracterizan por no tener solución o por tener soluciones únicas. Se pueden resolver a través de operaciones matriciales, métodos de eliminación, sustitución, igualación, etc.

Un ejemplo práctico de sistema de ecuaciones lineales sería: Julian y Marcos quienes planean un viaje, el cual tiene un recorrido de 210 kilómetros, en 3 horas. Durante su viaje mantuvieron una velocidad constante, Julian conduce x kilómetros por hora, mientras que Marcos conduce 4 kilómetros por hora más rápido que su compañero. ¿A qué velocidad conducirá cada uno de ellos?

Entonces, si la velocidad de Julian es x, y Marcos conduce 5 km/h adente de su compañero, se tiene que la su velocidad es x + 4. Por lo tanto:

x + (x + 4) = 70 => velocidad total durante 3 horas
x + (x + 4) = 210/3 => distancia total durante 3 horas

Por otra parte se tiene que los sistemas de ecuaciones no lineales, son aquellosque consta de dos o más ecuaciones en donde al menos una de ellas no es lineal, lo que significa que una variable se eleva a una potencia mayor que 1. Ejemplo de ello son las ecuaciones cuadráticas, exponenciales, logarítmicas, etc. Al trazar sistemas no lineales en un gráfico, se obtiene una forma de parábola.

Su forma general puede ser la siguiente:

f(x,y) = 0
g(x,y)= 0

Donde f(x,y) y g(x,y) son las expresiones no lineales. Por ejemplo:

x² + y² = 36
x - y = 7

Estos sistemas de ecuaciones no lineales se caracterizan por tener múltiples soluciones. Se pueden resolver aplicando aproximación, métodos numéricos o gráficamente.

Un ejemplo práctico de ello sería una empresa embotelladora de bebidas, produce Naranja (N) y Fresa (F). Suponiendo que la ganancia de la producción de x unidades de N, y unidades de F se da como T(x,y) = 2x² + 3y² - 4xy. Hay un presupuesto limitado de la empresa de $1500 para la producción. El costo de producción de x unidades para N es $2x, y el costo de producción de y unidades de F es $3y. Entonces, ¿Cuáles serán los mejores niveles de producción de M y P para maximizar la ganancia?

T(x,y) = 2x² + 3y² - 4xy => ecuación para la ganancia
2x + 3y = 1500 => restricción presupuestaria

En síntesis, a continuación se representa un resumen de las principales diferencias entre los sistemas de ecuaciones lineales y los sistemas de ecuaciones no lineales:

Sistemas lineales	Sistemas no lineales
Todas las ecuaciones son lineales	Al menos una de sus ecuaciones es no lineal
Sus gráficas son líneas rectas	Sus gráficas son de formas y curvas
Tiene solución única o no tiene solución	Tiene múltiples soluciones
Se resuelve por métodos algebraicos	Se resuelven por métodos numéricos o de aproximación

Describir cualquier método para resolver sistemas de ecuaciones lineales y compartir al menos un ejemplo algebrico paso a paso.

Existen diferentes métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, pero en esta oportunidad estaré utilizando el Método de Igualación, el cual consiste en despejar una de las variables en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. Este método nos permite encontrar el valor específicopara una de las variables que luego se puede sustituir para hallar el valor de la otra.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación se deben seguir los siguentes pasos:

• Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones
• Iguala las expresiones, lo que permite obtener una ecuación con una incógnita.
• Resolver la ecuación.
• Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

Veamos como funciona esto con un ejemplo algebraico, considerando las siguintes ecuaciones:

• 3x - 4y = -6
• 2x + 4y = 16

Los primero es despejar, por ejemplo, la incógnita x en ambas ecuaciones, obteniendo lo siguiente:

• x = (-6 + 4y) / 3
• x = (16 - 4y) / 2

Ahora se deben igualar las expresiones:

(-6 + 4y) / 3 = (16 - 4y) / 2

Se procede a resolver la ecuación:

(-6 + 4y) / 3 = (16 - 4y) / 2
2 (-6 + 4y) = 3 (16 - 4y)
-12 + 8y = 48 - 12y
8y + 12y = 48 + 12
20y = 60
y = 60 / 20
y = 3

Una vez encontrado el valor de y, se sustiye en cualquiera de las ecuaciones; en este caso se hará en la primera ecuación:

3x - 4y = -6
3x - 4(3) = -6
3x - 12 = -6
3x = -6 + 12
x = 6 / 3
x = 2

A contiuación se muestran los cálculos que se han realizado para ello:

Necesitas resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(a)

x + 2y = 7
3x - 2y = 5

Para resolver esre sistema de ecuaciones utilcé uno de los métodos explicados en la clase, el método de sustitución, en el cual se emplea la propiedad aditiva, multiplicativa y de sustitución; el procedimiento consiste en despejar una de las variables en alguna de las ecuaciones y y luego sustituirla en la otra. Para ello se deben seguir los siguientes pasos:

• Despejar una incógnita en una de las ecuaciones.
• Sustituir la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita.
• Resolver la ecuación.
• El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.
• Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema

A continuación se muestra la solución de este sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución:

(b)

4x + 6y = 2
x - 2y = 3

Para resolver este sistema de ecuaciones, utilicé la Regla de Cramer, la cual proporciona la solución de sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados, es decir con una única solución, mediante el cálculo de determinantes. La regla de Cramer es aplicada para resolver sistemas de ecuaciones lineales que cumplan las siguientes condiciones:

• El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
• El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por la regla de Cramer, se deben seguir los siguientes pasos:

• Calcular el determinante de la matriz de coeficientes
• Calcular los determinantes de las matrices que se obtienen al reemplazar cada columna de la matriz de coeficientes por el vector de términos.
• Hallar el valor de x, dividiendo el valor del determinante cambiando la x entre el valor del determinante del sistema.
• Hallar el valor de y, dividiendo el valor del determinante cambiando la y entre el valor del determinante del sistema.

A continuación se muestra la solución de este sistema de ecuaciones lineales por la Regla de Cramer:

Escenario número 1

Supongamos que hay una empresa que produce dos productos, A y B. Si el coste de producir x unidades de A e y unidades de B está dado por el sistema, entonces:

2x + 3y = 130 (costo de materiales)
x + 2y = 110 (costo de mano de obra)

Si la empresa quiere producir 50 unidades del producto A, calcule cuántas unidades del producto B puede producir.

Para resolver este problema debemos evaluar el valor de x en ambas ecuaciones; entonces se tiene que cuando x = 50 , evaluada en la primera ecuación, y tiene un valor de 10; mientras que cuando se evalúa x = 50 en la segunda ecuación 2, y toma un valor de 30; es decir que para x = 50, el valor de y es diferente.

Veámoslo de forma práctica:

• Evaluando X = 50 en la primera ecuación

Ecuación	2x + 3y = 130
Evaluar x=50	2(50) + 3y = 130
Se realiza la operación de multiplicación correspondiente	100 + 3y = 130
Se agrupan los términos independientes	3y = 130 - 100
Se realiza las operaciones algebraicas	3y = 30
El 3 que acompaña la y pasa al otro miembro a dividir	y = 30/3
Entonces, el resultado es	y = 10

• Evaluando X = 50 en la segunda ecuación

Ecuación	x + 2y = 110
Evaluar x=50	50 + 2y = 110
Se agrupan los términos independientes	2y = 110 - 50
Se realiza las operaciones algebraicas	2y = 60
El 2 que acompaña la y pasa al otro miembro a dividir	y = 60/2
Entonces, el resultado es	y = 30

Como se puede apreciar las dos ecuaciones arrojan resultados diferentes, lo que significa que el sistema de ecuaciones es inconsistente; por lo que ninguna solución satisfará ambas ecuaciones de forma simultánea.

En relación a ello se puede decir que producir 50 unidades de producto, materiales y mano de obra será inconsistente, puesto que la producción de producto es desproporcionada con respecto a los costos de mano de obra y materiales del producto.

Entonces, se concluye que las ecuaciones no tienen solución porque tienen valores diferentes.

Escenario número 2

Supongamos que hay una panadería que produce dos tipos de pasteles, de vainilla y de chocolate. Si el costo de producir x pasteles de vainilla e y pasteles de chocolate está dado por el sistema, entonces;

x + 2y = 80 (costo de los ingredientes)
2x + y = 70 (costo de la mano de obra)

Si una panadería quiere producir 30 pasteles de vainilla, calcule cuántos pasteles de chocolate puede producir.

Para este sistema de ecuaciones cuando se evalúa el valor de x = 30 en la primera ecuación, arroja un valor de y = 25; mientras que para la segunda ecuación, al introducir x = 30, da como resultado el valor de y =10; lo que denota que para ambas ecuaciones con x = 30, produce valores diferentes para y.

Veámoslo de forma práctica:

• Evaluando X = 30 en la primera ecuación

Ecuación	x + 2y = 80
Evaluar x=30	30 + 2y = 80
Se agrupan los términos independientes	2y = 80 - 30
Se realiza las operaciones algebraicas	2y = 50
El 2 que acompaña la y pasa al otro miembro a dividir	y = 50/2
Entonces, el resultado es	y = 25

• Evaluando X = 30 en la segunda ecuación

Ecuación	2x + y = 70
Evaluar x=30	2(30) + y = 70
Se realiza la operación de multiplicación correspondiente	60 + y = 70
Se agrupan los términos independientes	y = 70 - 60
Se realiza las operaciones algebraicas	y = 10

Como se puede evidenciar cuando x = 30, las dos ecuaciones arrojan valores diferentes para y, lo cual implica que las ecuaciones son inconsistentes; es decir, que os costos de producción son inconsistentes para el pastel de vainilla y el pastel de chocolate.

En resumen se puede decir que las ecuaciones no tienen solución porque tienen valores diferentes.

Gustoso de presentar mi participación en este concurso; aprovecho la oportunidad de invitar a @petrarodriguez, @damisvilladieg y @sabrip a que participen en esta actividad:

SLC S22W3//Equations and Systems of equations

Las imágenes son de mi propiedad, tomadas con Infinix Note 40 Pro.

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Cc: @khursheedanwar

¡Saludos y bendiciones!