Massenbriefsendung in die USA - kann die Post ihr Versprechen halten?

Nun zum zweiten Osterrätsel: die Sache mit der Massensendung nach USA. In Drei Osterrätsel mit Verzögerung habe ich gefragt, wie eine Massensendung von z.B. 1000 Briefen, aufgegeben am Schalter eines Postamts in Europa, seine Empfänger, die über ganz USA verstreut sind, erreicht. Die Post gibt an, dass ein Brief in die USA ca. 5 Tage benötige.

Gleich wie bei den Hühner und den 1000 Körnern, die wir gleichzeitig einwerfen, ist auch hier der Input ein Puls: wir speisen 1000 Briefe gleichzeitig und in einem Zug in's Postsystem ein. Doch, was geschieht dann?

Zunächst werde die Briefe mit vielen anderen in der Aufgabefiliale gespeichert, bis sie von einem Transporter abgeholt und in die Hauptpost gelangen. Dort werden vielleicht die Inland von den Auslandbriefe separiert und bleiben dann wieder liegen, bis sie zum Flughafen gebracht werden. Dort müssen sie vielleicht auf das nächste passende Flugzeug warten. Möglicherweise ist erst ein Teil der 1000 Brief am Flughafen, während der andere noch auf dem Weg dorthin ist. Vielleicht werden die 1000 Brief nicht alle im selben Flugzeug transportiert, sondern auf mehrere verteilt, die natürlich auch unterschiedliche Abflugzeiten haben.

Kurz: Die Briefe durchlaufen mehrere Bestände, in denen sie jeweils eine Weile liegen bleiben. Überfüllte Bestände werden schneller geleert, als fast leere, d.h. die Abflüsse haben immer eine Abhängigkeit vom Bestand selbst. Wir müssen wir also eine Kette von Beständen modellieren. Zwar wissen wir nicht, wie viele (Liege-)Bestände unsere Briefe durchlaufen, gewiss mehrere Dutzend. Hier wollen wir uns auf drei Bestände beschränken:

Ich nehme an, dass der Bestand des Aufgabepostamts mit 1000 Briefen startet und ein Brief in einem halben Tag weitergeht. Aber wenn nur noch 100 Briefe vorhanden sind, dann scheinen sie nicht mehr so dringend zu sein, so dass sie noch etwas liegen bleiben, bis genug Briefe für einen Weitertransport zusammengekommen sind. Für die Zwischenbestände benötigen die Briefe durchschnittlich 4 Tage. Im Empfangspostamt angekommen, dauert die Verteilung nochmals einen halben Tag. Wenn wir dieses Modell nun simulieren, dann erhalten wir folgendes Resultat:

Die Briefe werden im Aufgabepostamt gemäss der grünen Kurve innerhalb zweier Tag fast vollständig abgebaut. Die braune Kurve zeigt, wie die Briefe im Empfangspostamt ankommen. Es kommen immer mehr an, bis zu einem Maximum, dann nehmen sie wieder ab. Die blaue Kurve schliesslich zeigt, wie die Briefe bei den Empfängern ankommen. Erst nach 20 Tagen sind fast alle Briefe ausgeliefert.

Schauen wir uns die Situation etwas allgemeiner an: Wir haben einen Inputbestand, der einen Initialwert von 1000 hat und zwei Zwischenbestände. Die Gesamttransportzeit verteilen wir gleichmässig auf die drei Flüsse. Das allgemeine Modell sieht wie folgt aus. Es geht jetzt hier also nicht unbedingt um Briefe, sondern irgendwelche Ware oder Inhalte. Es können auch e-Mails oder Geld sein, d.h. die Inhalte der Bestände können auch Informationen sein und müssen nicht notwendigerweise aus physischem Material bestehen.

Das Modell finden Sie hier . Sie können es wieder kopieren und selber damit herumspielen.

Die Simulation zeigt folgendes Resultat:

Der Inputbestand nimmt wie die Körner beim Hühnerpicken ab. Das ist eine Verzögerung erster Ordnung.

Der zweite (Durchlauf-)Bestand startet bei 0, erreicht dann ein Maximum, z.B. M1, und nimmt dann wieder ab, so wie der Bestandesinhalt in den nächsten Bestand fliesst und vom Inputbestand nichts mehr nachgeliefert wird. Das wir Verzögerung zweiter Ordnung genannt.

Der dritte Bestand verhält sich gleich, wobei jetzt aber die Kurve später zu steigen beginnt, das Maximum niedriger ist als M1 und der "Schwanz" der Kurve länger wird. Das ist eine Verzögerung dritter Ordnung.
Wenn wir davon ausgehen, dass kein Bestandesinhalt verloren geht, dann muss die Fläche unter jeder Kurve konstant bleiben, weil eben immer gleich viel Inhalt in den nächsten Bestand fliesst.

Unsere Briefe haben eine Verzögerung höherer Ordnung, z.B. zwanzigster Ordnung. Das ist wie eine Kette von 20 hintereinander geschalteter Bestände. Sie können sich vorstellen, dass das Maximum sehr niedrig und der "Berg" sehr flach ist. Wir würden erwarten, dass die Kurve des 20. Bestandes bei ca. 4 Tagen zu steigen beginnt, bei 6 oder 7 Tagen ein Maximum hat und nach vielleicht 10 -15 Tagen wieder fast 0 ist. D.h. die ersten Briefe werden bereits nach 4 Tagen ausgeliefert (z.B. in den Städten der Ostküste), die meisten Briefe werden nach 6 oder 7 Tagen ausgeliefert und die letzten Briefe werden nach 10 oder gar erst 15 Tagen, vor allem in abgelegenen ländlichen Gebieten, ausgeliefert. Wenn die Post behauptet, dass ein Brief nach USA ca. 5 Tage unterwegs ist, dann müssten nach 5 Tagen - sagen wir - 90 Prozent aller Briefe ausgeliefert sein. Dass das ein sehr sportliches Vorhaben ist, zeigt unser Modell. Bis z.B. 900 Briefe ausgeliefert sein werden, dauert es mindestens 10 Tage!

Hier eine Anschlussaufgabe: Modellieren Sie eine Verzögerung 20. Ordnung und passen Sie die Gesamtdurchlaufzeit so an, dass 90 Prozent des Anfangsbestandes nach 5 Tagen aus dem 20. Bestand heraus geflossen ist!

Wenn Sie nicht den Insightmaker verwenden wollen, dann können Sie auch die sogenannte Personal Learning Edition von Vensim herunterladen. Das ist ebenfalls for free. Das Programm ist bedeutend umfangreicher als der Insightmaker, läuft aber auf Ihrem Computer und ist somit nicht kollaborationsfähig.