26-11-2024 - Education - Linear Algebra - Algebraic Curves [EN]-[IT]

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[ENGLISH]
26-11-2024 - Education - Linear Algebra - Algebraic Curves [EN]-[IT]
With this post I would like to provide some brief notions regarding the technical topic mentioned in the subject.
The context in which we operate is that of analytical geometry or linear algebra
(code notes: MOD-59)

Algebraic Curves

Definition
Algebraic curves in the plane are the natural generalization of straight lines, and are obtained by increasing the degree of the polynomials that define them.

The circumference is an algebraic curve. In this case the circumference is seen as a circumference with center C and radius r > 0 and is the set of points that have distance r from C.

Observation
Suppose we use the Cartesian reference system (O;x,y), we can write an implicit formula that represents a circumference with center C and radius r. The condition that a point

has distance r from C Where

And

The equation can be written how

general equation of a circle
Here is the general equation of a circle.

Conclusions
Algebraic curves have applications in various fields of mathematics, science and technology.
Here is a summary of their main uses:
-They study the relationships between polynomial equations and their geometric representations
-They are used to understand geometric properties, such as symmetries, intersections and shapes.
-They describe natural phenomena (such as orbits, waves and trajectories)
-They are useful in optics and mechanics to represent reflections and trajectories.
-They are used to model and represent three-dimensional objects and curved surfaces in CAD software and video games.
-They are used to plan optimal trajectories and precise movements.
We can say in a nutshell that algebraic curves provide a bridge between geometry and algebra, allowing theoretical and practical applications in many fields.

Question
Have you ever heard of algebraic curves or is this the first time you hear this term?

[ITALIAN]
26-11-2024 - Education - Algebra lineare - Curve algebriche [EN]-[IT]
Con questo post vorrei fornire alcune brevi nozioni a riguardo dell’argomento tecnico citato in oggetto.
Il contesto in cui operiamo è quello della geometria analitica o algebra lineare
(code notes: MOD-59)

Curve algebriche

Definizione
Le curve algebriche nel piano sono la naturale generalizzazione delle rette, e sono ottenute aumentando il grado dei polinomi che le definiscono.

La circonferenza è una curva algebrica. In questo caso la circonferenza viene vista come una circonferenza di centro C e raggio r > 0 ed è l’insieme dei punti che hanno distanza r da C.

Osservazione
Supponiamo di usare il sistema di riferimento cartesiano (O;x,y), possiamo scrivere una formula implicita che rappresenta una circonferenza con centro C e raggio r. La condizione che un punto

ha distanza r da C dove

ossia

L’equazione può essere scritta come

equazione generale di una circonferenza
Qui di seguito è riportata l’equazione generale di una circonferenza.

Conclusioni
Le curve algebriche hanno applicazioni in diversi campi della matematica, della scienza e della tecnologia.
Qui di seguito una sintesi delle loro principali utilità:
-Studiano le relazioni tra le equazioni polinomiali e le loro rappresentazioni geometriche
-Sono usate per comprendere proprietà geometriche, come simmetrie, intersezioni e forme.
-Descrivono fenomeni naturali (come orbite, onde e traiettorie)
-Sono utili nell'ottica e nella meccanica per rappresentare riflessioni e traiettorie.
-Sono usate per modellare e rappresentare oggetti tridimensionali e superfici curve nei software CAD e nei videogiochi.
-Servono a pianificare traiettorie ottimali e movimenti precisi.
Possiamo dire in estrema sintesi che le curve algebriche forniscono un ponte tra la geometria e l'algebra, permettendo applicazioni teoriche e pratiche in moltissimi ambiti.

Domanda
Avete mai sentito parlare delle curve algebrica oppure è la prima volta che sentite questo termine?

THE END