※ 시험 전 정리용으로 작성자 외에는 알아보기 힘들 수 있음
편의 상, 벡터는 굵게 표시한다. 벡터 공간, Set, Matrix는 이탤릭체로 표시한다.
벡터 공간 (Vector Space, Linear space)
V가 더하기와 스칼라 곱이 정의되어 있는 set일 때,
-> 이것의 의미는 V안에 있는 두 벡터 x와 y의 합이 V안에 unique element로 존재하고 αx(α는 임의의 실수)도 V안에 unique element로 존재한다.
-> 선형 결합 αx+βy가 V안에 존재할 때
V를 벡터 공간 혹은 선형 공간이라고 한다
벡터 공간은 다음과 같은 8가지 법칙을 만족한다
x+y=y+x for any x and y in V
(x+y)+z = x+(y+z) for any x,y, and z in V
There exists an element 0 in V such that x+0 = x for each x∈V
For each x∈V, there exists an element -x in V such that x + (-x) = 0
α(x+y)=αx+αy for each scalar α and any x and y in V
(α+β)x=αx+βx for any scalars α and β and any x∈V
(αβ)x =α(βx) for any scalars α and β and x∈V
1x = x for all x∈V
벡터 공간의 elements(요소)를 벡터라고 부른다
Theorem 1
x, y, z가 V에 속해있고 α가 scalar일때
V 에 있는 0는 유일하다
0x = 0
x+y=0 이면 y=-x (-x는 유일하다)
(-1)x = -x
x+y = x+z 이면 y=z
α0=0
만약 αx=0이면 α=0 혹은 x=0이다
증명 생략.
만약 V의 a nonempty subset S가 있고, S가 아래 컨디션을 만족하면 S는 V의 subspace(부분공간)이다
αx∈S whenever x∈S for any scalar α
x+y∈S whenever x∈S and y∈S
벡터 공간의 모든 부분 공간은 벡터 공간이다
0와 V는 V의 부분공간이다
A가 m × n matrix라고 하자
그러면 N(A) := { x∈Rn | Ax = 0 } (R은 실수) 를 A의 null space라고 한다
위 정의에 따라 N(A)는 Rn의 부분공간(subspace)이다
Theroem 2
만약 v1, v2, … , vn 들이 V의 elements라면, Span(v1, v2, … , vn)은 V의 부분공간이다
v1, v2, … , vn 가 벡터공간 V의 벡터들이라고 하자
Span(v1, v2, … , vn)를 V의 부분공간이 v1, v2, … , vn로 span되었다고 할 수 있다
Span(v1, v2, … , vn) = V일때, v1, v2, … , vn이 V를 span한다고 하거나, {v1, v2, … , vn}을 V의 spanning set이라고 한다
집합 {v1, v2, … , vn}이 V의 spanning set이라는 것의 필요충분조건은
V안에 있는 모든 벡터들이 v1, v2, … , vn들의 선형결합으로 나타난다는 것이다
만약 v1, v2, … , vn 이 벡터공간 V를 span하고, 이 벡터들 중 하나가 다른 n-1개의 벡터들의 선형결합에 의해 표현 가능하면, n-1개의 벡터들은 V를 span한다
v1, v2, … , vn 중 하나가 다른 n-1개의 벡터들의 선형결합에 의해 표현 가능하다는 것의 필요충분조건은 모두 0은 아닌 스칼라 c1, …, cn가 있을때, c1v1 + … + cnvn = 0 가 존재한다
벡터 공간 V안의 벡터들 v1, v2, … , vn이 만약 c1v1 + … + cnvn = 0 (모두 0은 아닌 스칼라 c1, …, cn)을 만족한다면 벡터들은 linearly dependent(선형종속)하다
Theorem 3
x1, x2, … xn이 Rn의 n 벡터들이고 X = (x1, x2, … xn)이라고 하자. x1, x2, … xn 벡터들이 linearly dependent(선형종속)하다는 것의 필요충분조건은 X가 singular하다는 것이다
Theorem 4
벡터 공간 V에 v1, v2, … , vn의 벡터들이 있다고 하자. 한 벡터 v ∈ Span(v1, v2, … , vn)이 v1, v2, … , vn의 선형결합(linear combination)으로 유일한 표현가능하다는 것의 필요충분조건은 v1, v2, … , vn이 linearly independent(선형독립)하다는 것이다
v1, v2, … , vn 이 벡터 공간 V에 Basis(기저)를 이룬다는 것의 필요충분조건은 v1, v2, … , vn이 linearly independent하다는 것, v1, v2, … , vn이 V를 span한다는 것이다.
만약 { v1, v2, … , vn }이 벡터 공간 V의 spanning set이라면, V안에 있는 m개의 벡터들은 m > n일때, linearly dependent하다
만약 { v1, v2, … , vn }과 { u1, u2, … , un }가 벡터 공간 V의 basis이면 n = m이다