Esperimenti di laboratorio: effetto Hall

1. Introduzione

C.C. 3.0 by SA

1.1 Scopo della misura

Lo scopo dell'esperimento è verifcare la legge dell'effetto Hall e l'andamento della tensione di Hall Vh al variare del campo magnetico B e della corrente I per due campioni di germanio drogati,in modo da determinare la densità dei portatori di carica e il loro relativo segno.
L'effetto Hall è stato scoperto circa 20 anni prima del sistema di conduzione delle cariche elettriche. Oggi ci sembra un effetto ovvio, ma non lo era la tempo di Hall. Fiducia nella Scienza: prima o poi qualcuno capirà come funzionano le cose.

1.2 Teoria fisica

L'effetto Hall è un fenomeno che si manifesta quando un conduttore percorso da corrente viene sottoposto a un campo magnetico esterno. Noi utilizziamo una lastra di semiconduttore al germanio di dimensioni L = 10 mm x W = 20 mm x T = 1 mm. La lastra è fissata tra due bobine che, percorse da corrente, generano il campo magnetico; B è quindi applicato ortogonalmente ad essa. C'è dunque una forza di Lorentz agente sui portatori in moto che costituiscono la corrente, che percorre la lastra conduttrice:

Per effetto di tale forza, il moto dei portatori viene deviato e si ha un accumulo di portatori su una faccia della lastra; tra le due facce si instaura così una differenza di potenziale Vh , e quindi un campo elettrico indotto, detto campo elettrico di Hall: Eh.

Si arriva a una condizione stazionaria quando

da cui si ricava che all'equilibrio

Sapendo che la corrente cha circola nel conduttore è i , mentre WT la sezione della lastra, e che Vh=Eh*w, ricaviamo il potenziale di Hall, che ci permette di determinare il segno dei portatori:

Infatti se Vh risulta positivo, allora si ha che il campione di semiconduttore è drogato di tipo p; se Vh è negativo invece è drogato di tipo n.

Per ottenere il numero dei portatori di carica si rovescia la formula, ottenendo:

La lastra del campione di germanio è disposta all'interno di un traferro di un circuito magnetico, il quale è composto dalle bobine alimentate dalla corrente Im fornita dal generatore. In queste condizioni si genera un campo magnetico B con direzione ortogonale al piano della lastra e con verso uscente o entrante in base al verso della corrente Im ,che si puo considerare uniforme e costante. Per misurare l'intensità del campo magnetico si pone lo strumento apposito, una sonda di Hall che va inserita tra le espansioni polari del magnete in cui c'e il campione. Tale sonda permette la lettura del valore di B tramite il magnetometro. Un aspetto da approfondire è pero la taratura della sonda, ossia la sua calibrazione iniziale, insieme all'andamento nel tempo dei valori registrati dal magnetometro. Per quanto riguarda invece la corrente passante nel campione, essa è fornita dal generatore di tensione, posto in serie al multimetro utilizzato come amperometro e alla resistenza R che permette l'arrivo della giusta corrente per la lastra. In parallelo a questo circuito è posto il secondo multimetro, usato come voltmetro indicante il valore del potenziale di Hall, importante per la determinazione del tipo dei portatori.

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2. Procedimento

La prima cosa che abbiamo effettuato è stata la taratura della sonda di Hall, dopo aver acceso il magnetometro. Abbiamo considerato il valore registrato dato dalla sonda posta in modo parallelo al piano del tavolo; abbiamo ruotato di 180 gradi la sonda e registrato il nuovo valore. In seguito l'abbiamo sistemata in modo tale da registrare il valor medio di campo delle due letture precedenti e abbiamo azzerato lo strumento in questa posizione. Abbiamo ripetuto la calibrazione piu volte per assicurarci di averla tarata nel modo piu accurato possibile. La taratura della sonda infuisce sulla misurazione dei valori di campo ed è un aspetto di cui tenerne decisamente conto.

Una volta effettuata la taratura iniziale e inserita la sonda in prossimita della lastra, abbiamo osservato che, nonostante la manopola del generatore di tensione fosse a zero, l'amperometro segnava un valore della corrente i diverso da zero (i = 0.1 mA). Quindi abbiamo staccato il cavetto BNC collegato alla boccola positiva del generatore, in modo che l'amperometro segnasse corrente nulla. Probabilmente questa piccola quantità di corrente e fornita dal generatore di tensione, anche se la manopola non viene girata. Tuttavia questo valore può essere trascurato poichè rientra nel range dell'errore attribuito allo strumento.

Inoltre abbiamo osservato che posizionando la sonda vicino la lastra,il campo magnetico B registrato dal magnetometro non era nullo,nonostante la manopola del generatore di corrente Im fosse a zero. Questo è dovuto alla magnetizzazione residua del nucleo ferromagnetico. Per ovviare a ciò, abbiamo fornito una oppurtuna Im in grado di annullare il campo.

A questo punto abbiamo svolto una preliminare determinazione del segno dei portatori a partire da considerazioni teoriche. In seguito abbiamo iniziato le misure per il primo campione di germanio. La prima raccolta dati è stata eseguita a campo costante per 6 valori di B nel range [-300; 300]mT con step di 100mT. Per ciascuno di essi abbiamo considerato valori della corrente dell'intervallo [-24; 24]mA con step di 2 mA, registrando i rispettivi valori della tensione di Hall.

La seconda raccolta di dati è stata svolta a corrente costante per 6 valori di i nell'intervallo [-18 18]mA con step di 6 mA. Per ciascuno abbiamo considerato valori di B nell'intervallo [-300 300]mT con passo pari a 30 mT, raccogliendo i valori di Vh. Questo procedimento è stato ripetuto per il secondo campione di germanio. Infine abbiamo grafcato i due andamenti di Vh in funzione di i e B e tramite l'analisi dati abbiamo constatato il tipo di drogaggio e la densità dei portatori.

Inoltre abbiamo notato che,dato un valore di campo fissato, questo variava in funzione del tempo in modo piu consistente nei primi minuti di accensione del magnetometro, diventando piu stabile col passare del tempo. Quindi abbiamo studiato l'evoluzione di questa variazione per poter assegnare l'errore allo strumento.

La raccolta dati si divide, per ogni campione in due parti:

• la tensione di Hall in funzione della corrente i passante per il campione a campo B costante

• la tensione di Hall in funzione del campo magnetico B generato dalle bobine a corrente i costante

Il primo grafico mostra la tensione di Hall in funzione della corrente per 6 valori di campo costante. Per ciasuno di essi e stato svolto un fit della curva attraverso la seguente funzione:

y = a + bx
x = i e y = Vh.

Queste rette,secondo il modello teorico, dovrebbero passare per l'origine degli assi cartesiani.
Per questo "a" dovrebbe risultare approssimabile a 0, mentre b rappresenta la pendenza.

Il secondo grafico mostra la tensione di Hall in funzione del campo B per 6 valori di corrente.

Misure del secondo campione

Conclusioni

Lo scopo dell'esperimento era quello di determinare il segno ed il valore della densità dei portatori per due campioni di germanio drogati tramite la misura della tensione di Hall. In particolare abbiamo svolto due misure diverse per ogni campione: la prima riguarda Vh in funzione della corrente i che passa per la lastra a campo B costante, la seconda VH al variare di B a i costante. Abbiamo dunque dedotto, da un'analisi preliminare, che il primo campione ha subito un drogaggio di tipo p e il secondo invece di tipo n e successivamente, attraverso l'analisi dei grafci, abbiamo trovato i rispettivi valori ed errori delle densità. Tuttavia i valori ricavati non sono risultati compatibili tra loro per ogni campione e abbiamo cercato di correggere tale problema per fare in modo che le rette dei grafici passassero per l'origine e che i valori di p ed n fossero rispettivamente consistenti tra loro per avvicinarci alla condizione ideale. In entrambi i casi si conclude, in buona approssimazione, che la correzione effettuata sul valore di campo comporta un miglioramento della compatibilità delle densità dei portatori. Tuttavia si può notare ancora un leggero spostamento di alcune rette rispetto all'origine e una incompatibilita di alcuni dei valori di densita trovati (nel caso del primo campione). Questo comporta la presenza di ulteriori errori dovuti probabilmente ad una scarsa precisione degli strumenti. L'aspetto che ha sicuramente contribuito maggiormente a questo problema è stata la taratura della sonda di Hall e le conseguenti misure ricavate dal magnetometro.Infatti abbiamo studiato l'andamento dei dati del magnetometro subito dopo l'accensione e dopo molto tempo per assegnare gli opportuni errori al campo B. Nonostante la correzione, non tutti i portatori di tipo p sono consistenti tra loro,mentre per quelli di tipo n le barre di errore si sono sovrapposte. Per avere una stima totale abbiamo effettuato dei fit lineari da cui è emerso:

Fonti

• http://courses.washington.edu/phys431/hall_effect/hall_effect.pdf
• https://www.physics.utoronto.ca/~phy224_324/experiments/hall-effects/HallEffect.pdf
• https://www.electronics-tutorials.ws/electromagnetism/hall-effect.html

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Immagine CC0 Creative Commons, si ringrazia @mrazura per il logo ITASTEM.
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