[과학] 중력파와 블랙홀-1 [이론소개 중심]

작년 LIGO( Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory) 에서 첫번째 중력파 관측 이후 올해 5-6월 경 에서 LIGO 에서 세번째 Black Hole merger 를 관측했다고 발표가 나왔다. 이 LIGO 에는 국내 과학자들도 상당히 참여하고 있어 국내 학계 분위기도 상당히 고무되어 있다. 중력파와 블랙홀은 밀접한 관련이 있는데, 질량이 큰 블랙홀의 경우 중력파를 발생해 내기도 한다.

이번 포스트에는 블랙홀에 관한 기초이론과 중력파와 블랙홀에 관한 책 몇권 소개를 다루려고 한다. (어느정도 쓰고 보니 블랙홀에 관련된 책은 다음 포스팅에 해야 될것 같다.)

이 글은 물리학 특히 블랙홀에 관심있는 일반 대중과 자연계 학부생 등을 대상으로 생각하고 작성하고 있다. 즉 일반적인 내용과 전문적 내용이 공존하고 있다. 전문적인 내용은 소괄호 혹은 대괄호를 써서 기술할 예정이라 해당 내용들은 넘어가면서 읽으면 된다.

Image credit: NASA/JPL-Caltech
위 사진은 Nasa 사이트에서 가져온 사진으로, 블랙홀 중심으로 부터 jet 가 발생하여 방출 되고 있다.

먼저 블랙홀이란 무엇이냐, 대충 말하면 중력이 매우 강하여 빛 조차 빨아들이는 물체라고 알려져 있다. 조금 엄밀하게 말하면, 물리적으로 의미가 있는 Einstein equation 의 해 중에서 그 물체(별)의 반경이 event horizon 안 쪽에 있는 경우를 말한다. [사실 이는 앞의 일반적인 내용을 좀 더 구체화 한 것에 불과하다. event horizon 이라는 것이, 빛과 물질이 안으로만 통과 가능한 지역을 말한다.]

더 나아가 수학적으로 정의하고자 하면, Blackhole horizon 은 globally hyperbolic 시공간에서 미래 null infinity 에 대한 spacetime closure 의 boundary 를 말한다. 안타깝게도 이를 제대로 설명하기 위해서는 각각의 용어에 대한 설명과 이해가 필요하다. (시공간의 causal structure 와 penrose diagram 에 대한 이해) 따라서 본 내용에서는 너무 수학적인 내용은 다루지 않으려 한다. [이러한 내용들은 Hawking-Ellis 가 쓴 교과서에 아주 자세히 설명되어 있다. ]

[슈바르츠 실드에 대한 펜로즈 다이어그램, 이미지 참조-https://jila.colorado.edu/~ajsh/insidebh/penrose.html]

시공간에 대한 이해를 하기 위해서는 아인슈타인의 장방정식을 살펴 볼 필요가 있다. 아인슈타인의 장방정식은 natural unit 에서 다음과 같은 구조를 가진다.

우변은 matter 를 나타내는 것이고(G 는 중력 상수를 나타낸다) 좌변은 시공간에 대한 정보(곡률 등) 을 나타낸다. 흔히 말하는 "질량이 있으면 시공간이 휘게 된다" 란 말은 위 식을 풀어 설명한 말이다. 우변 좌변의 수학적 물리적 의미에 대해서는 나중에 기회가 되면 다루기로 하자. (우변은 리치 텐서와 리치 스칼라, metric 으로 구성되어 있는데 이는 리치 텐서와 리치 스칼라는 metric 의 두번 미분 으로 구성되어 있는 물리량이다. 즉 우변은 metric 에 대한 2계 미분 항들로 이루어 졌다는 것을 알 수 있다) 지금 우리의 관심사는 방정식의 해에 있다. 여기서 방정식의 해라는 것은 metric 의 형태를 찾는 것을 말한다.

(여담으로 수학적인 관점에서 보면 위 편미분 방정식의 해가 well-posed 되었느냐에 대해서 고민을 해 보아야 한다. 종종 물리학자는 먼저 답이 존재한다고 가정하고 이론을 전개해 나가는데, 수학자의 경우 문제가 잘 정의되었는지 (쉽게 말하면 문제에 대한 답이 존재하는지) 부터 고민하고 이론을 성립해 나간다. Vacuum 상태(우변이 0인)에서의 well-posedness 는 1969년 쇼케부라와 게로치에 의해서 증명되었는데 이는 일반상대론이 1915년 발표되었다는 것에 비추어 보았을 때 상당히 이 well-posed 문제가 어려웠다는 것을 보여준다. 백만달러 문제 중 하나인 Navier-stokes equation-역시 PDE 의 well-posed 문제만 보아도.. vacuum 이 아닌 일반적인 경우에 대해서는 아직도 연구가 진행중이다.)

유감스럽게도 아인슈타인의 장 방정식은 non-linear 한 PDE 로 exact solution 을 구하기가 매우 어렵다. 특별히 구하기 쉬운 경우가 vacuum (우변이 0인) 상황인데, 이 자체도 임의의 시공간에서 정확한 해를 구하기가 어려워, 특정한 기하적인 상황을 가정하여 해를 구한다.

아인슈타인의 방정식의 해 중에 블랙홀과 관련된 가장 유명한 해 3개는, Schwarzschild, Kerr, Reissner–Nordström 이 있다.

Schwarzschild 는 static, spherical symmetry의 해를 말하며 4차원 (-,+,+,+) convention 의 해는 다음과 같다.

여기서 M 은 블랙홀, 즉 물체의 질량을 나타낸다. vacuum 상태였기에 (아무것도 없는 공간, 소스가 없는 공간)에 곡률이 있다는 것이 물체에 질량을 부여한다는 것을 읽어낼 수 있다. 우리가 일반적으로 생각하는 블랙홀은 이 모델을 바탕으로 하고 있다. (Birkoff theorem 에 따르면 이러한 Schwarzschild solution 이 위 조건을 만족하는 유일한 해라는 것을 증명 할 수 있다, 많은 학부 수준의 상대론 수업은 대강 해당 내용까지 배우고 Birkoff 는 아니더라도 슈바르츠 실드 이야기는 언급하고 마무리를 맺는다.)

(여담으로 Karl Schwarzschild 는 독일인으로 세계 1차 대전 당시 러시아 전선 포병부대의 중위로 복무중이었는데, 이 때 자신의 연구 결과를 아인슈타인에게 편지로 전달했다. 1916년 )

Reissner–Nordström 블랙홀의 경우,spherical symmetry 에 전하를 고려한 경우로써(따라서 전자기 장, 소스를 고려하여야 한다. 즉 더이상 vacuum 이 아닌 경우를 말한다.) Maxwell theory 에서의 energy-momentum tensor 식을 이용하여 spherical ansatz 에 대입하여 구할 수 있는데 형태는 다음과 같다.

여기서 Q 와 P 는 electric, magnetic 전하를 의미한다. (여담으로 이 RN 블랙홀은 HEP 분야에 있어 매우 중요하다. BPS states, D-Brane, Ads/CFT 등과 상당히 연관이 있는 솔루션으로 자세한 이야기는 나중에 기회가 되면 포스팅을 하도록 하겠다. 너무나 할 이야기가 많다) 특정 조건에서 이 솔루션은 schwarzschild 형태를 지닌다.

이 방정식은 Reissner (1916), Nordstom (1918) 년에 발견했다.

Kerr 솔루션의 경우 (rotating 경우 - axially symmetric vacuum solution)

kerr 솔루션의 경우 특별히 ergosphere 이나 dragging effect(Frame-dragging) 라는 것을 볼 수 있다. dragging effect 에 대한 diagram 하나를 소개한다. ( https://universe-review.ca/R15-17-relativity04.htm 에서 따왔음)

(kerr 블랙홀은 식 유도 자체도 상당히 복잡하고 어렵다. kerr 의 해는 1963년에 알려졌는데, 이는 앞의 두 해의 비하면 상당히 늦은 시기에 알려진 것이다. 즉 그만큼 이 문제가 어려운 문제였다는 것을 의미한다. 커 솔루션에 대한 유도는 커의 오리지널 논문에 조차 자세히 서술되지 않는다. 찬드라세카의 블랙홀 교과서에 보면 유도과정이 기술 되어 있기는 하나 상당히 복잡하다. 다만 특별한 limit 에서의 유도과정은 잘 알려진 편이다.)

특별히 이 세가지 블랙홀이 유명한 것은 아마 각각이 질량, 전하, 스핀에 의해 결정되어서가 아닌가 싶다. 일반적으로 블랙홀은 이 세가지 물리량에 의해 분류가 된다.

지금까지 블랙홀에 관련된 기본적인 배경지식에 대해서 알아보았다. 다음 포스트에서는 현실, 관측에서 블랙홀이 어떻게 존재하는지에 대해서 간략히 서술해 보고 관련 대중 과학서 를 소개해 볼까 한다.

Image Credit: X-ray: NASA/CXC/Wisconsin/D.Pooley & CfA/A.Zezas; Optical: NASA/ESA/CfA/A.Zezas; UV: NASA/JPL-Caltech/CfA/J.Huchra et al.; IR: NASA/JPL-Caltech/CfA

2, 3 부 포스팅

[과학] 중력파와 블랙홀-2 [간략] [블랙홀의 생성과정과 중력파 발생]
[과학] [과학, 책] 중력파와 블랙홀-3 [관련 도서/자료(?) 소개]]