시작하기에 앞서..

이 글은 래리고닉의 세상에서 가장 재미있는 대수학 의 내용 중 일부를 활용하여 작성된 것임을 밝힙니다.

수학과 도형

수학의 재밌는 점 중에 하나는 수식을 도형이나 그래프로 표현할 수 있다는 것이고, 그렇게 표현함으로써 수식에서는 보이지 않았거나 어렵게 찾아냈던 것들을 상대적으로 쉽고 직관적으로 알 수 있다는 것이다.

이 글에서는 학창시절 열심히 외우고, 관련 연습문제를 수십번 풀었음에도 불구하고 머리속에서 여름날의 아이스크림처럼 녹아버린 근의 공식을 유도해 보고자 한다. 도형을 통한 방법이 유용한 이유는 근의 공식을 완전히 잊어버리게 되더라도 도형의 모양을 기억해 내면 근을 찾을 수 있다는 것이다. 물론 도형의 모양마저 잊게 된다면 방법은 없다.

곱셈과 도형의 넓이

먼저 아래 수식을 보자.

이 수식은 분배의 법칙을 이용하여 다음과 같이 풀어 낼 수 있다.

분배의 법칙을 설명하는 다양한 방법이 있겠지만 여기서는 도형의 넓이를 활용해 보자. 위의 수식은 밑변이 (a+b)이고 높이가 (c+d)인 사각형의 넓이를 구하는 문제로 바꾸어 생각해 볼 수 있다.

사각형의 밑변과 높이를 다음과 같이 쪼개보면, 전체 사각형의 넓이는 작은 4개의 사각형의 넓이의 합으로 구할 수 있다는 것을 알게된다.

다시 말하면 전체사각형의 넓이 (a+b)(c+d)는 작은 4개의 사각형의 넓이 ac + ad + bc + bd와 같다는 것이다. 따라서 분배의 법칙이 성립함을 알 수 있다.

2차 방정식의 풀이

이제 다음과 같은 2차 방정식을 생각해보자.

인수분해로도 쉽게 풀리는 문제지만, 여기서는 도형을 사용해보기로 하자.
여기서 어떻게 도형을 사용하냐고 물으실 수도 있겠지만, 다음과 같이 수식을 변형해보면 밑변이(x+6)이고 높이가 x인 도형을 발견할 수 있을 것이다.

이 도형의 넓이는 x(x+6)이다. 여기서 어떤분은 도형의 넓이가 어떻게 -8이 될 수 있습니까? 라고 질문을 하실수도 있겠다. 좋은 질문이지만 한때 수포자(수학을 포기한 사람)였던 필자가 답하기는 꽤나 어려운 질문이다. 다만, 이렇게 얘기해두자. 수학에서는 모든 것에 대한 가능성을 열어두자. 유리수 사이에 어떤 수가 있을까라는 고민에서 무리수가 나왔고, 제곱했을 때 마이너스가 나오는 수를 어떻게 표현할까 라는 고민에서 허수가 나온 것처럼, 수학에서는 모든것이 가능하다!

이제 약간의 가위질과 상상력이 필요하다. 오른쪽에 있는 사각형을 반으로 잘라서 왼쪽에 있는 사각형 밑에 붙여 보자. 사각형의 일부를 옮겨붙인 것에 불과하므로 음영이 칠해진 다각형의 넓이는 여전히 x(x+6)이다.

음영이 칠해진 부분을 자세히 살펴보면, 밑변이 x+3이고 높이가 x+3인 정사각형의 일부 임을 알 수 있다(아래그림참조). 즉, 이미 만들어진 음영부분에 빗금 친 부분을 더하면 아름다운(?) 정사각형이 완성된다. 빗금친 부분을 제외한 나머지 음영부분의 넓이는 여전히 x(x+6)임에 주목하자.

이제 음영부분의 넓이를 표현하는 다른 방법을 생각해보자. 음영부분은 큰 정사각형의 일부인 것을 이미 알고 있으므로, 음영부분의 넓이는 한변이 x+3인 정사각형(큰 정사각형)에서 오른쪽 아래 빗금친 한변이 3인 정사각형(작은 정사각형)의 넓이를 뺀 것과 같다는 것도 알 수 있다.

즉, 아래의 수식이 성립한다.

거의 다 되었다. 변형된 [수식2]를 기존의 [수식1] 에 대입해보자.

양변에 근호를 씌우고 풀어주면(즉, 제곱근을 구해주면)..

(여기서 잠깐, 혹시 제곱근을 구할때 왜 +와 -가 동시에 붙는지 궁금하다면, 제곱근의 성질을 곰곰히 생각해보시길.)

즉, x = -2와 -4임을 알 수 있다.

2차 방정식 풀이의 일반화

이제 2차 방정식의 풀이를 일반화할 차례이다. 다음의 방정식의 근을 구해보자.

먼저 1차항의 계수를 1로 만들자. (1차항의 계수가 1이 되어야 위에서 풀었던 문제와 같이 x로 묶어 높이가 x인 사각형을 만들 수 있다.)

처음 문제와 같이 높이가 x인 사각형을 만들기 위해 아래와 같이 식을 변형한다.

다음과 같이 오른쪽 사각형을 반으로 잘라 왼쪽 사각형 아래 붙인다.

음영부분의 넓이는 큰 정사각형에서 작은 정사각형의 넓이를 뺀것과 같다.

즉, 아래의 수식이 성립한다.

[수식2]를 [수식1] 에 대입해보자.

상기 수식을 x에 대해 정리하면...(이부분은 각자의 몫으로..)
다음과 같은 근의 공식을 얻을 수 있다.

정리

지금까지 잘 따라온 분들은 이미 눈치 채셨겠지만, 지금까지 우리가 한 일은 직사각형의 넓이를 정사각형의 넓이로 바꿔주는 작업이었다. 직사각형을 정사각형으로 바꾸면, 제곱 형태의 식이 되어, x의 값을 쉽게 구할 수 있게 된다.
즉, 우리는 지금까지 이차방정식을 풀기 위해 다음의 과정을 거쳤다.

• 목표 : 이차방정식을 다음과 같은 형태로 만들어주면 쉽게 그 해을 찾을 수 있다.(정사각형의 넓이 구하기 문제로 변형)
  

• 1단계 : 이차방정식을 정사각형의 넓이 문제로 변형하기 위해 주어진 이차방정식을 다음과 같은 형태로 바꾼다.
  

• 2단계 : 괄호안의 a를 반을로 잘라붙여 큰 정사각형과 작은 정사각형을 만들고, 큰 정사각형의 넓이에서 작은정사각형의 넓이를 빼준다(도형을 상상). 그 넓이는 기존의 직사각형의 넓이와 동일하다.
  따라서 다음의 식이 성립한다.(못믿으시겠다면 아래식의 좌변을 풀어보자. 위의 1단계 식과 동일하다는 것을 알 수 있을 것이다.)
  

  좌변의 일부를 우변으로 옮기면, 드디어 원하는 모습의 정사각형 넓이 문제로 변형이 되었다.
  

• 3단계 : 이제 양변에 근호를 씌우고, x에 대해 잘 정리하면, 2차방정식의 근인 x값을 얻을 수 있다.