FUNCIONES CARACTERÍSTICAS Y SIMPLES
De las funciones conocidas, las funciones características y simples tienen una importancia fundamental, tanto en la teoría de las probabilidades como en la de la teoría de la medida en general.
Se trata de lo siguiente, considere un conjunto fijo X (llamado también universal). Para cada S subconjunto de X (es decir S⊂ X), definimos la función real IS:X→R por, IS(x)=1, si x∈S y IS(x)=0, si x∉S (o x∈X−S). A tales funciones se les denomina funciones característica. Es decir la función vale uno para los puntos de S y se anula para los puntos de su complemento.
Examinemos tres propiedades de las funciones características:
(1) Si S, T ⊂ X, entonces IS∩T=ISIT (producto de funciones)
Para probar esta propiedad, observe que X−S∩T=(X−S)∪(X−T) (Ley de Morgan) y los cálculos salen de inmediato.
(2) Si S ⊂ X, entonces IX−S=1−IS, la que se deduce de cálculos directos.
(3) Si S, T ⊂ X, entonces IS+IT= IS∩T+IS∪T
Se prueba usando la escritura S∪T=(S−T) ∪ (T−S) ∪ S∩T y por cálculo directo.
Una función simple g es una función que es combinación lineal finita de funciones características. Es decir existen r1, r2,...,r números reales y S1, S2,...,Sn subconjunto de X, tales que g=r1IS1+r2IS2.....+rnISn.
De suma importancia son las funciones simples g=r1IS1+r2IS2.....+rnISn, tales que los subconjuntos soportes Si forman una familia disjunta, es decir Si∩Sj=Ø (i≠j).
Como caso particular si la familia de los Si es una partición finita de X, es decir X=S1∪S2∪...∪Sn (Si∩Sj=Ø para i≠j), entonces 1=IS1+IS2+.....+ISn.
Las funciones características y simples son de suma importancia en la teoría de probabilidad. Para fijar ideas, considere el espacio muestral X={1,2,3,4,5,6} correspondiente al lanzamiento aleatorio de una dado. Si consideramos el evento S={2,4,6}, es decir sale un número par, entonces la función característica I{2,4,6}, indica cuando ocurre o no el evento "sale un número par". Si consideramos la función simple 3I{2,4,6} indica que la función vale 3 si ocurre el evento y toma el valor 0 en otro caso (lo que podría significar en algún contexto, gana 3 dólares el que lanza el dado si sale par su lanzamiento, 0 dólares en otro caso). En cambio se consideramos la función simple 3I{2,4,6}−2 I{1,3,5}, esta función indicaría la obtención del valor negativo −2, si no se acierta par en el lanzamiento del dado (lo que podría significar en algún contexto, perder 2 dólares para el que lanza el dado si sale impar su lanzamiento).