Recuerde que un espacio vectorial E sobre los números reales o complejos, es normado, si existe una función ||.||:E→R, tal que cumple:
(a) ||x||≥0, ∀ x∈E
(b) ||x||=0, si y sólo si, x=0.
(c) ||𝜶x||=|𝜶| ||x||, ∀ x∈E y ∀ 𝜶 escalar.
(d) ||x+y||≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈E
Una norma ||.|| sobre E, induce una métrica, donde d(x,y)=||y−x|| y esta métrica induce una topología τ, es decir una subfamilia de los subconjuntos de E, tal que U ∈ τ, si dado x ∈ U, existe ε > 0, tal que si d(y,x) < ε, entonces y ∈ U . A U se le llama un abierto de la topología.
De importancia en el análisis matemático son los espacios normados donde toda sucesión de Cauchy {xn }, es decir d(xn,xm) → 0 cuando n,m → ∞; entonces es convergente, es decir existe x ∈ E, tal que d(xn,x) → 0 cuando n → ∞. Se dice entonces que E es un espacio normado de Banach.
Ahora supongamos E=C[ 0,1] el espacio de las funciones continuas reales definidas sobre el intervalo real [ 0,1].
Definimos
||f||= ∫0 1|f(t)|dt
Es conocido que esta función define una norma sobre C[ 0,1]. Veamos que no define un espacio normado de Banach.
Para verlo considere la siguiente fn función:
fn(t)=1 ∀ t∈ [ 0,1/2] ;
fn(t)=𝜶nt+ βn ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] ;
fn(t)=0 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] (n≥3)
y los 𝜶n y βn a precisar para garantizar la continuidad de cada fn
Como necesitamos que fn(t) sea continua, tiene que darse que:
1/2𝜶n+ βn =1,
(1/2 + 1/n)𝜶n+ βn =0
Ecuación cuyo determinante de sus coeficientes es Δ=−1/n. Usando la regla de Cramer, se prueba que 𝜶n=−n y βn=(n+2)/2
Tenemos entonces que
fn(t)=1 ∀ t∈ [ 0,1/2] ;
fn(t)=−nnt+ (n+2)/2 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] ;
fn(t)=0 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] (n≥3)
y como
|| fn(t)− fm(t)||= ∫0 1| fn(t)− fm(t)|dt=2(1/n−1/m) (m > n), pasando al límite, se deduce que d(fn(t). fm(t))→ 0 cuando n,m → ∞. Es decir la sucesión es de Cauchy.
Veamos que esta sucesión no puede converger bajo esta norma a ninguna función continua definida sobre el intervalo [ 0,1]. De lo contrario, existiría f ∈ C[ 0,1]., tal que ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0.
Sea 0≤x≤1/2.
Como
∫0 1/2| fn(t)− f(t)|dt=∫0 1/2| 1− f(t)|dt≤ ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0
entonces ∫0 1/2| 1− f(t)|dt=0. Es decir f(x)=1, ∀ x∈[ 0,1/2] ,
Por otro lado
∫1/2 1+1/n(f−fn)(t)dt≤∫1/2 1+1/n||f|−|fn||(t)dt∫≤∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0
luego ∫1/2 1+1/n|f(t)|dt−2/n ≤ ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt
Pasando al límite se deduce que ∫1/2 1|f(t)|dt=0. Es decir que f(t)=0, ∀ t ∈ C[ 0,1] , lo que es contradictorio.
Para terminar, veamos que E= C[ 0,1] con la topología inducida por la norma del supremo, es decir
||f||∞=supt∈[ 0,1]|f(t)| es distinta la topología inducida por la norma
||f||= ∫0 1|f(t)|dt .
Es conocido que ( C[ 0,1], ||.||∞) es un espacio de Banach, mientras que hemos demostrado que ( C[ 0,1],||.||) no lo es, lo que garantiza lo afirmado.
Lo anterior es un ejercicio propuesto en el Capítulo V del libro de Dieudonne: Fundamentos de Análisis Moderno. Editorial Reverté. 1979. Barcelona.