UN EJEMPL0 DE UN ESPACIO NORMADO NO COMPLETO

in matematica •  2 months ago 


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Recuerde que un espacio vectorial E sobre los números reales o complejos, es normado, si existe una función ||.||:E→R, tal que cumple:

(a) ||x||≥0, ∀ x∈E

(b) ||x||=0, si y sólo si, x=0.

(c) ||𝜶x||=|𝜶| ||x||, ∀ x∈E y ∀ 𝜶 escalar.

(d) ||x+y||≤ ||x|| + ||y||, ∀ x, y ∈E

Una norma ||.|| sobre E, induce una métrica, donde d(x,y)=||y−x|| y esta métrica induce una topología τ, es decir una subfamilia de los subconjuntos de E, tal que U ∈ τ, si dado x ∈ U, existe ε > 0, tal que si d(y,x) < ε, entonces y ∈ U . A U se le llama un abierto de la topología.

De importancia en el análisis matemático son los espacios normados donde toda sucesión de Cauchy {xn }, es decir d(xn,xm) → 0 cuando n,m → ∞; entonces es convergente, es decir existe x ∈ E, tal que d(xn,x) → 0 cuando n → ∞. Se dice entonces que E es un espacio normado de Banach.

Ahora supongamos E=C[ 0,1] el espacio de las funciones continuas reales definidas sobre el intervalo real [ 0,1].

Definimos


||f||= ∫0 1|f(t)|dt


Es conocido que esta función define una norma sobre C[ 0,1]. Veamos que no define un espacio normado de Banach.


Para verlo considere la siguiente fn función:

fn(t)=1 ∀ t∈ [ 0,1/2] ;


fn(t)=𝜶nt+ βn ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] ;


fn(t)=0 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] (n≥3)


y los 𝜶n y βn a precisar para garantizar la continuidad de cada fn


Como necesitamos que fn(t) sea continua, tiene que darse que:


1/2𝜶n+ βn =1,

(1/2 + 1/n)𝜶n+ βn =0


Ecuación cuyo determinante de sus coeficientes es Δ=−1/n. Usando la regla de Cramer, se prueba que 𝜶n=−n y βn=(n+2)/2


Tenemos entonces que


fn(t)=1 ∀ t∈ [ 0,1/2] ;


fn(t)=−nnt+ (n+2)/2 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] ;


fn(t)=0 ∀ t∈ [ 1/2, 1/2 + 1/n] (n≥3)


y como


|| fn(t)− fm(t)||= ∫0 1| fn(t)− fm(t)|dt=2(1/n−1/m) (m > n), pasando al límite, se deduce que d(fn(t). fm(t))→ 0 cuando n,m → ∞. Es decir la sucesión es de Cauchy.

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Veamos que esta sucesión no puede converger bajo esta norma a ninguna función continua definida sobre el intervalo [ 0,1]. De lo contrario, existiría f ∈ C[ 0,1]., tal que ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0.


Sea 0≤x≤1/2.


Como


0 1/2| fn(t)− f(t)|dt=∫0 1/2| 1− f(t)|dt≤ ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0


entonces ∫0 1/2| 1− f(t)|dt=0. Es decir f(x)=1, ∀ x∈[ 0,1/2] ,


Por otro lado

1/2 1+1/n(f−fn)(t)dt≤∫1/2 1+1/n||f|−|fn||(t)dt∫≤∫0 1| fn(t)− f(t)|dt → 0


luego ∫1/2 1+1/n|f(t)|dt−2/n ≤ ∫0 1| fn(t)− f(t)|dt


Pasando al límite se deduce que ∫1/2 1|f(t)|dt=0. Es decir que f(t)=0, ∀ t ∈ C[ 0,1] , lo que es contradictorio.

Para terminar, veamos que E= C[ 0,1] con la topología inducida por la norma del supremo, es decir


||f||=supt∈[ 0,1]|f(t)| es distinta la topología inducida por la norma


||f||= ∫0 1|f(t)|dt .

Es conocido que ( C[ 0,1], ||.||) es un espacio de Banach, mientras que hemos demostrado que ( C[ 0,1],||.||) no lo es, lo que garantiza lo afirmado.


Lo anterior es un ejercicio propuesto en el Capítulo V del libro de Dieudonne: Fundamentos de Análisis Moderno. Editorial Reverté. 1979. Barcelona.

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