En el espacio euclideo R² se define para los puntos v=(x₁, x₂), v'=(x'₁, x'₂) ∈ R² el producto escalar: v. v'=(x₁, x₂). (x'₁, x'₂)=x₁.x'₁+x₂.x'₂ y la norma euclidea de un punto por ||v||=||(x₁, x₂)||=√(x₁²+x₂²)=√((x₁,x₂).(x₁,x₂))


Recordemos que todo (x₁, x₂)=x₁(1,0)+x₂(0,1) donde e₁=(1,0), e₂=(0,1) es la base canónica.



Dados (x₁, x₂), (x'₁, x'₂) puntos de R², se dicen que son ortoganales si (x₁, x₂).(x'₁, x'₂)=x₁.x'₁+x₂x'₂ =0. Si además ||(x₁, x₂)||=||(x₁, x₂)||=1 se dicen que son ortogonales. Ahora dado un subconjunto cualquiera W de R², se define W^⊥={ (v∈ R²: v.w=0, para todo w ∈ W }. Es fácil demostrar que W^⊥ es un subespacio lineal del espacio euclideo R².




Un subconjunto W de R² se dice que es cerrado, si dada una sucesión v_n ∈ W , tal que ||v_n−v||→0, entonces v ∈ W. También diremos que W es acotado si existe un número real no negativo r, tal que ||w||≤r, para todo w∈ W .



Una propiedad importante que tiene un subconjunto W acotada y cerrado en R², es que si f:W →R es una función continua, entonces f alcanza los valores extremos, es decir existen w₁, w₂∈ W, tales que f( w₁)≤ f(w)≤f( w₂), para todo w∈ W. Se dice que w₁ es un punto de mínimo y w₂ un punto de máximo de la función f. En general, si f:W →R es una función, se dice que w₀∈ W es un extremo local, si existe ε > 0, tal que w₀ es un extremo en { w∈ W:||w − w₀||< ε }.



Una función f: R² →R si dice que es de clase C¹, si sus derivadas parciales ^∂f/_∂x1 y ^∂f/_∂x2 son continuas. Recuerde que ∇( f) =(^∂f/_∂x1,^∂f/_∂x2) .

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Un resultado sumamente importante del análisis real , es el de los multiplicadores de Lagrange. Supongamos que f,g: R² →R son funciones de clase C¹ y sea S={ v ∈ R²: g(v)=0}. Sea v₀∈ S tal que ∇( f)(v₀)≠ 0. Si f|S tiene un extremo local en v₀, entonces existe un número real λ, tal que ∇( f)(v₀)= λ∇( g)(v₀) .

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Sea un polinomio cuadrático q(x₁,x₂)= ax₁²+2bx₁x₂+cx₂² con a, b y c constantes reales y g(x₁,x₂)= x₁²+x₂²−1. Es claro que S={ (x₁,x₂)∈ R²: x₁²+x₂²=1 }. Como S es cerrado y acotado y el polinomio cuadrático q(x₁,x₂) es una aplicación continua, se deduce que existe un v₀=(x₁,x₂ ) ∈ S donde el polinomio cuadrádico q alcanza el máximo.

Si aplicamos los multiplicadores de Lagrange a las funciones que nos ocupan, existe un λ, tal que (^∂f/_∂x1 , ^∂f/_∂x2 )= (2ax₁+2by,2cy₁+2bx)=λ(^∂g/_∂x1 , ^∂g/_∂x2 )=λ(2x₁,2y₁). Se deducen los sistemas de ecuaciones:

(λ−a)x₁−by₁=0
−bx₁+(λ−c)y₁=0

Como el sistema posee solución no nula, (λ−a)(λ−c) −b²=0. Es decir λ ² −(a+c)λ+ac−b²=0 posee solución no trivial.

Tenemos dos posibilidades:

(1) La ecuación de segundo grado en λ posee dos raíces distintas λ ₁, λ ₂. Como la transformación lineal T(x,y)=(ax+by, bx+cy) es autodjunta y existen v₁, v₂ ∈ R² con ambos no nulos, tales que T(v₁)=λ ₁v ₁ y T(v₂)=λ ₂v ₂; se deduce que v₁ y v₂ son ortogonales y podemos tomarlos con ||v₁ ||= ||v₂ ||=1.

(2) λ ₁ = λ ₂= λ. En este caso podemos hallar una base v₁ , v ₂ de R² tales que T(v₁)=λ v₁ y T(v₂)=λ v₂, la que podemos ortonormalizar por el proceso de Gram-Schmidt .

Finalmente, usando el hecho de que la matriz de cambio de bases entre e₁ , e₂ y v₁ , v₂ es una matriz ortogonal, se demuestra que el polinomio cuadrático q(x,y)=λ₁u₁² +λ₂u₂².

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Sea el lugar geométrico q(x,y)=66x²−24xy+59y²=1 en el espacio ecuclideo R². Sea el polinomio λ ² −(66+59)λ+66.59−(−12)²=λ ²+125λ +3750, cuyas raíces son λ₁=75, λ₂=50. En una nueva base ortonormal q(x,y)=75u₁² +50u₂²=1 es la ecuación de una elipse. .

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_{^{UNA APLICACIÓN}}

Consideremos en plano euclideo R², un eje o recta L que pasa por el origen, y suponemos que tenemos distribuidas m₁, m₂, ..., m_n masas situadas en los puntos C₁=( x₁, y₁), C₂=( x₂, y₂), ...,C_n=( x_n, y_n) respectivamente. Si estas masas giran en torno a este eje, recordemos que en física se define el momento inercial de estas masas al número cuya valor es m₁ r₁²+...+m_n r_n², donde r=r_i es la distancia del punto C=C_i a la recta L. Recordemos que el momento inercial es una propiedad de las masas, o mejor dicho del material homogéneo de una lámina que contiene las masas y que suponemos gira en sentido antihorario alrededor de eje expresado.




Supongamos que el punto C=C_i está ubicado como en la figura. Sean |0D|=x_i, |DC|=y_i las medidas respectivas de los segmentos. Es claro que los triángulos rectángulos DOE y CFE son semejantes con ∠ (0)=∠ (C)=α =β, y de lo que se deduce que |CD|=x_itag(α)−y_i y por lo tanto r_i=|(x_itag(α)−y_i)cos(α)=|x_isen(α)−y_icos(α)|.

El momento inercial tendrá la ecuación I_L=

(m₁x₁²+...+m_nx_n²)sen²(α)−2(m₁x₁y₁+...+m_nx_ny₁)sen(α)cos(α)+(m₁y₁²+...+m_ny_n²)cos²(α)

Llamando A=m₁x₁²+...+m_nx_n², B=−(m₁x₁y₁+...+m_nx_ny_n), C= m₁y₁²+...+m_ny_n² la ecuación queda:


I_L=Asen²(α)+2Bsen(α)cos(α)+Bsen²(α) y si definimos por ρ=1/_{√ IL}, la ecuación queda 1/_ρ²=Asen²(α)+2Bsen(α)cos(α)+Bcos²(α) y despejando:


1=A(ρsen(α))²+2B( ρsen(α))( ρcos(α))+C( ρcos(α))² y si elegimos un punto N en la recta L, tal que |0N|= ρ la ecuación queda q(x,y)=Ay²+2Bxy+Cx² =1, N=(x,y) = (ρcos(α), ρsen(α)). Al variar los ejes o rectas por el origen L, varían los momentos inerciales I_L y obtenemos los puntos correspondientes en el lugar geométrico Ay²+2Bxy+Cx² =1 que se quiere probar que es una elipse.


Como |(m₁x₁y₁+...+m_nx_ny₁|=|√m₁x₁√m₁y₁+...+√m_nx_n√m_ny_n |≤√(m₁x₁²+...+m_nx_n²)√(m₁y₁²+...+m_ny_n²), se prueba que las raíces del polinomio λ² −(A+C)λ+CA−B² son positivas y una raíz λ₁ es estrictamente positiva. Por lo estudiado anteriormente podemos hallar una base ortonormal tal que q(x,y)=λ₁u₁² +λ₂u₂².Veamos que λ₂ es también estrictamente positiva. De lo contrario q(x,y)=λ₁u₁²=1, lo que conduce a una contradicción.

La elipse anterior se le llama Elipse de inercia de la lámina con respecto al origen de coordenadas. Si el origen de coordenadas es el centro de gravedad de la lámina se le llama elipse central de inercia, y tiene importantes aplicaciones a la ingeniería, sobre todo a la de resistencia de materiales.

_^REFERENCIAS