Fernando Pessoa, genial poeta de Portugal, decía de la famosa fórmula del binomio de Newton (originalmente descubierta por Blaise Pascal): "El binomio de Newton es tan bello como la Venus de Milo, | lo que pasa es que hay muy poca gente que se da cuenta de ello||...(El viento afuera"); y leyendo temprano en la mañana, en un lunes fresco y carnavalesco, un ejercicio de Análisis Vectorial, me encuentro con una fórmula que expresa el corte de tres planos dadas por sus ecuaciones normales:
r·n 1=p 1, r·n 2=p 2 y r·n 3=p 3 , tales que sus vectores normales n 1, n 2 y n 3 son no coplanares, con p 1, p 2 y p 3 valores escalares.
La fórmula es la siguiente:
donde
( n 1, n 2 , n 3)= n 1· (n 2×n 3) es su producto triple, siendo n 2×n 3, n 3×n 1 y
n 1×n 2 sus respectivos productos vectoriales.
¡Claro! la belleza de esta magnífica fórmula, radica en su forma de simetría, bajo el contexto de su significación geométrica, matemática.
Su demostración es sumamente sencilla; por ejemplo calculemos:
[p 1 n 1·( n 2 ×n 3)+p 2n 1· (n 3 ×n 1)+p 3n 1·( n 1 ×n 2)]/( n 1, n 2 , n 3)
Pero como n 1· (n 3 ×n 1)=−n 1· (n 1 ×n 3)=−n 3 · (n 1 ×n 1)=0 y
n 1·( n 1 ×n 2)=n 2·( n 1 ×n 1)=0, obtenemos que
[ p 1 n 2 ×n 3+p 2 n 3 ×n 1+p 3 n 1 ×n 2]/( n 1, n 2 , n 3)·n 1=
p 1 n 1·( n 2 ×n 3)/( n 1, n 2 , n 3)=p 1.
Las otros comprobaciones se obtienen de la misma forma.
