20201028 (Wednesday / miércoles)

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Three problems about percentages

(A). In one bottle we have 200 milliliters (ml) of a solution called "Kensol" at 2%, and in another container, we have 200 ml of "Kensol" at 1%.

If we mix them completely, how many ml of "Kensol" will we have, and at what percentage?

In the first bottle, we have 4 ml (or in some cases, it could be 4 grams) of pure substance and 196 ml of the vehicle (the word "vehicle", in chemistry, pharmaceutical, industry, etcetera, means the liquid or inert medium that facilitates the use, transport and the necessary dosage; it can be tap water, or purified water, or distilled water, or ethyl alcohol of 100 or 96 or 70 or x Gay-Lussac degrees, etcetera; or if the pure substance or essence is fat-soluble, then the vehicle can be classic olive oil or extra virgin olive oil, or any vegetable oil, or mineral oil).

So, we have stated that in the first bottle we have 4 ml (200 × 0.02) of pure substance and 196 ml (200 - 4) of solvent vehicle, while in the second bottle we have 2 ml (200 × 0.01) of pure substance and 198 ml (200-2) of the vehicle or liquid solvent.

We add 4 + 2 = 6, and on the other hand we add 200 + 200 = 400.

We divide the first result by the second result:
6/400 = 0.015.

Now, to express this last figure as a percentage, we multiply it by 100:

0.015 × 100 = 1.5

So our answer is that we have 400 ml of "Kensol" at 1.5%.

— —

(B). In one company there is a container that contains 637 milliliters (ml) of a solution called "Narsol" at 5.5% and another container contains 284 ml of a solution of the same trademark but at 6.3%.

If an employee mixes the contents of both containers completely, how many ml will he obtain, and at what percentage?

First, we multiply 637 ml by 5.5% to see how many ml of pure substance we have (five point five percent can be expressed as 0.055 [without the sign of "percent", %]):

637 × 0.055 = 35.035

Thus, we have 35.035 ml of the pure substance, and the difference against 637 ml is the volume of the solvent or liquid vehicle, which in this case is 601.965 ml.

637.000 -
35.035
—————
601.965

Next, to calculate the data or values ​​of the second bottle, we multiply 284 ml by 6.3%:

284 × 0.063 = 17.892 ml of the pure substance, and the difference against 284 ml is the volume of the liquid vehicle, which in this case is 266.108 ml.

284.000 -
17.892
—————
266.108

On the one hand, we will add the volumes of the pure substance:

35.035 +
17.892
————
52.927

And on the other hand, we will add the volumes of the vehicle or solvent liquid:

601.965 +
266.108
—————
868.073

Let's add the result of the first operation plus the result of the second operation:

52.927 +
868.073
—————
921.000

Now, to obtain the percentage of the mixture, we divide the result of the first operation by the total volume:

52.927 / 921 = 0.057466

To express this last figure as a percentage, we multiply it by 100:

0.057466 × 100 = 5.7466%

When rounding, we have as a result: 921 ml of "Narsol" at 5.75%.

— —

(C). In one company they have in a container, 591 milliliters (ml) of a solution called "Rimsol" at 3.6 percent, while in another jar there are two liters (2000 ml) of "Rimsol" at 7.8%. Chemist Eugenia Bátiz receives an order from her boss to obtain a certain amount of milliliters (no matter how many), at 5%. How many ml of "Rimsol" at 7.8% must she add to the 591 ml at 3.6%, to obtain "Rimsol" at 5%?

Firstly, we must calculate the volumes (expressed in milliliters) of the respective pure substances, and of the respective liquid vehicles.

We multiply 591 × 3.6%:

591 × 0.036 = 21.276 ml.

In the first case, we have 21.276 ml of the pure substance, and now we subtract this quantity from 591, to obtain the volume of the solvent:

591.000 -
21.276
—————
569.724 ml of solvent

In the second case, we multiply 2000 × 7.8%

2000 × 0.078 = 156

We have 156 ml of essence (or pure substance), and now we subtract that amount from 2000, to obtain the volume of the solvent:

2000 -
156
———
1844 ml of solvent

Those are the HARD DATA we have.

Now, let us proceed to pose the problem.

By partially following the steps in problem (B) ("PARTIALLY, because here's a different unknown), we must:

First, multiply 591 ml by 3.6% to see how many ml of pure substance we have (three point six percent can be expressed as 0.036 [without the sign of "percent", %]):

591 × 0.036 = 21.276 ml.

In the first case, we have 21.276 ml of the pure substance, and now we subtract this quantity from 591, to obtain the volume of the solvent:

591.000 -
21.276
—————
569.724 ml of solvent

In the case of the second container or jug, although we know the concentration (7.8%, or 0.078), we ignore the volume that chemist Eugenia must add (that is precisely the unknown or "x"), so the correct approach will be:

Add the figures of essences or pure substances to obtain the value that expresses the sum of them:

21.276 +
0.078 × x
———————————
21.276 + (0.078 × x)

That is: 21.276 + 0.078x

Now to the total volume of the first container of "Rimsol" we add our x, which is the volume that we ignore:

591 +
x
————
591 + x

Next, we have to divide the first result by the second result and we match this division against the other known value, which is 5% (expressed without the % sign ["percent"]; that is: 0.05)

(21.276 + 0.078x) / (591 + x) = 0.05

21.276 + 0.078x
————————— = 0.05
591 + x

To facilitate the process, we will multiply both terms of the equation by (591 + x):

(21.276 + 0.078x) (591 + x)
—————————————— = 0.05 (591 + x)
591 + x

Let us simplify the term on the left side:

21.276 + 0.078x = 0.05 (591 + x)

21.276 + 0.078x = 29.55 + 0.05x

0.078x - 0.05x = 29.55 - 21.276

0.028x = 8.274

x = 8.274 / 0.028

x = 295.5

The volume of "Rimsol" at 7.8 percent that chemist Eugenia Bátiz must add is 295.5 milliliters, and thus she will obtain a sum of 886.5 ml at 5 percent (5%).

We can CHECK the veracity of the answer by following the method used in problem (B):

Firstly, we multiply 591 ml by 3.6% to see how many ml of pure substance or essence we have (three point six percent can be expressed as 0.036 [without the sign of "percent", %]):

591 × 0.036 = 21.276

Thus, we have 21.276 ml of the pure substance, and the difference against 591 ml is the volume of the solvent or liquid vehicle, which in this case is 569.724 ml.

591.000 -
21.276
—————
569.724

Next, to calculate the data or values for a new bottle, a third bottle (different from the second 2-liter bottle), we multiply 295.5 ml by 7.8% (0.078):

295.5 × 0.078 = 23.049 ml of the pure substance, and the difference against 295.5 ml is the volume of the liquid vehicle, which in this case is 272.451 ml.

295.500 -
23.049
—————
272.451

On the one hand, we will add the volumes of the pure substance:

21.276 +
23.049
————
44.325

And on the other hand, we will add the volumes of the vehicle or solvent liquid:

591 +
295.5
————
886.5

We divide the first result by the second result:

44.325 / 886.5 = 0.05, or 5 percent.

— —

Tres problemas de porcentajes

A). En un frasco tenemos 200 mililitros (ml) de una solución llamada "Kensol" al 2%, y en otro envase contamos con 200 ml de "Kensol" al 1%.

Si los mezclamos totalmente, ¿cuántos ml de "Kensol" tendremos, y a qué porcentaje?

En el primer frasco, tenemos 4 ml (o en algunos casos pudieran ser 4 gramos) de sustancia pura y 196 ml de vehículo (la palabra "vehículo", en química, farmacéutica, industria, etcétera significa el líquido o medio inerte que facilita el uso, transporte y la dosificación necesaria; puede ser agua de la llave, o agua purificada, o agua destilada, o alcohol etílico de 100 o 96 o 70 o equis grados Gay-Lussac, etcétera; o si la sustancia pura o esencia es liposoluble, entonces el vehículo puede ser aceite de oliva clásico o aceite de oliva extravirgen, o cualquier aceite vegetal, o un aceite mineral).

Entonces, hemos afirmado que en el primer frasco tenemos 4 ml (200 × 0.02) de sustancia pura y 196 ml (200 - 4) de vehículo solvente, en tanto que en el segundo envase tenemos 2 ml (200 × 0.01) de sustancia pura y 198 ml (200 - 2) de vehículo o líquido solvente.

Sumamos 4 + 2 = 6, y por otra parte sumamos 200 + 200 = 400.

Dividimos el primer resultado entre el segundo resultado:
6 / 400 = 0.015.

Ahora, para expresar porcentualmente esta última cifra, la multiplicamos por 100:

0.015 × 100 = 1.5

Entonces nuestra respuesta es que tenemos 400 ml de "Kensol" al 1.5%.

— —

B). En una empresa hay un recipiente que contiene 637 mililitros (ml) de una solución llamada "Narsol" al 5.5% y otro envase contiene 284 ml de una solución de igual marca registrada, pero al 6.3%.

Si un empleado mezcla totalmente los contenidos de uno y otro envases, ¿cuántos ml obtendrá y a qué porcentaje?

Primeramente, multiplicamos 637 ml por 5.5% para ver cuántos ml de sustancia pura tenemos (cinco punto cinco por ciento podemos expresarlo como: 0.055 [sin el signo % de "por ciento"]):

637 × 0.055 = 35.035

Así, tenemos 35.035 ml de sustancia pura, y la diferencia contra 637 ml es el volumen del vehículo solvente o líquido, que en este caso es de 601.965 ml.

637.000 -
35.035
—————
601.965

Enseguida, para calcular los datos o valores del segundo frasco, multiplicamos 284 ml por 6.3%:

284 × 0.063 = 17.892 ml de sustancia pura, y la diferencia contra 284 ml es el volumen del vehículo líquido, que en este caso es de 266.108 ml.

284.000 -
17.892
—————
266.108

Por un lado, sumaremos los volúmenes de la sustancia pura:

35.035 +
17.892
————
52.927

Y por otro lado, sumaremos los volúmenes del vehículo o líquido solvente:

601.965 +
266.108
—————
868.073

Sumemos el resultado de la primera operación más el resultado de la segunda operación:

52.927 +
868.073
—————
921.000

Ahora, para obtener el porcentaje, de la mezcla, dividimos el resultado de la primera operación entre el volumen total:

52.927 / 921 = 0.057466

Para expresar porcentualmente esta última cifra, la multiplicamos por 100:

0.057466 × 100 = 5.7466%

Al redondear, tenemos como resultado: 921 ml de "Narsol" al 5.75%.

— —

C). En una empresa tienen en un envase, 591 mililitros (ml) de una solución llamada "Rimsol" al 3.6 por ciento, en tanto que en otro porrón hay dos litros (2000 ml) de "Rimsol" al 7.8%. La química Eugenia Bátiz recibe la orden de su jefa de obtener cierta cantidad de mililitros (no importa cuántos), al 5%. ¿Cuántos ml de "Rimsol" al 7.8% debe añadir ella a los 591 ml al 3.6%, para obtener "Rimsol" al 5%?

Primeramente debemos calcular las volúmenes (expresados en mililitros) de las respectivas sustancias puras, y de los respectivos vehículos líquidos.

Multiplicamos 591 × 3.6%:

591 × 0.036 = 21.276 ml.

En el primer caso, tenemos 21.276 ml de sustancia pura, y ahora restamos de 591 dicha cantidad, para obtener el volumen del solvente:

591.000 -
21.276
—————
569.724 ml de solvente

En el segundo caso, multiplicamos 2000 × 7.8%

2000 × 0.078 = 156

Tenemos 156 ml de esencia (o sustancia pura), y ahora restamos de 2000 dicha cantidad, para obtener el volumen del solvente:

2000 -
156
————
1844 ml de solvente

Esos son los DATOS DUROS que tenemos.

Ahora bien, procedamos a plantear el problema.

Al seguir parcialmente los pasos del problema B) ("PARCIALMENTE, porque aquí hay una incógnita diferente), debemos:

Primeramente, multiplicar 591 ml por 3.6% para ver cuántos ml de sustancia pura tenemos (tres punto seis por ciento podemos expresarlo como: 0.036 [sin el signo % de "por ciento"]):

591 × 0.036 = 21.276 ml.

En el primer caso, tenemos 21.276 ml de sustancia pura, y ahora restamos de 591 dicha cantidad, para obtener el volumen del solvente:

591.000 -
21.276
—————
569.724 ml de solvente

En el caso del segundo envase o porrón, si bien conocemos la concentración (7.8%, o 0.078), ignoramos el volumen que la química Eugenia debe añadir (esa es precisamente la incógnita), por lo que el planteamiento correcto será:

Adicionar las cifras de esencias o sustancias puras para obtener el valor que exprese la suma de ellas:

21.276 +
0.078 × x
——————
21.276 + (0.078 × x)

O sea: 21.276 + 0.078x

Ahora al volumen total del primer envase de "Rimsol" le sumamos nuestra x, que es el volumen que ignoramos:

591 +
x
————
591 + x

Enseguida, tenemos que dividir el primer resultado entre el segundo resultado y tal división la igualamos contra el otro valor conocido, que es 5% (expresado sin el signo % ["por ciento"]; o sea: 0.05)

(21.276 + 0.078x) / (591 + x) = 0.05

21.276 + 0.078x
————————— = 0.05
591 + x

Para facilitar el proceso, multiplicaremos ambos términos de la ecuación por (591 + x):

(21.276 + 0.078x) (591 + x)
—————————————— = 0.05 (591 + x)
591 + x

Simplificamos el término del lado izquierdo:

21.276 + 0.078x = 0.05 (591 + x)

21.276 + 0.078x = 29.55 + 0.05x

0.078x - 0.05x = 29.55 - 21.276

0.028x = 8.274

x = 8.274 / 0.028

x = 295.5

El volumen de "Rimsol" al 7.8 por ciento que la química Eugenia Bátiz debe agregar es de 295.5 mililitros, y así obtendrá una suma de 886.5 ml al 5 por ciento (5%).

Podemos COMPROBAR la veracidad de la respuesta al seguir el método utilizado en el problema B).:

Primeramente, multiplicamos 591 ml por 3.6% para ver cuántos ml de sustancia pura o esencia tenemos (tres punto seis por ciento podemos expresarlo como: 0.036 [sin el signo % de "por ciento"]):

591 × 0.036 = 21.276

Así, tenemos 21.276 ml de sustancia pura, y la diferencia contra 591 ml es el volumen del vehículo solvente o líquido, que en este caso es de 569.724 ml.

591.000 -
21.276
—————
569.724

Enseguida, para calcular los datos o valores de un nuevo frasco, un tercer frasco (diferente del segundo frasco de 2 litros), multiplicamos 295.5 ml por 7.8% (0.078):

295.5 × 0.078 = 23.049 ml de sustancia pura, y la diferencia contra 295.5 ml es el volumen del vehículo líquido, que en este caso es de 272.451 ml.

295.500 -
23.049
—————
272.451

Por un lado, sumaremos los volúmenes de la sustancia pura:

21.276 +
23.049
————
44.325

Y por otro lado, sumaremos los volúmenes del vehículo o líquido solvente:

591 +
295.5
————
886.5

Dividimos el primer resultado entre el segundo resultado:

44.325 / 886.5 = 0.05, o sea 5 por ciento.

— —

20201028 (miércoles / Wednesday)